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'''拉格朗日定理'''是[[群論]]的定理，利用[[陪集]]證明了[[子群]]的階一定是有限[[群]]的階的因數值。

==定理==

叙述：设H是有限[[群]]G的子群，则H的[[階 (群論)|阶]]整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个[[等价类]]。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作[G:H]。

===陪集的等价关系===

定义[[二元关系]]<math>\sim</math>：<math>a \sim b \Longleftrightarrow  a^{-1}b \in H</math>。下面证明它是一个[[等价关系]]。

# 自反性：<math>\forall x \in G,~~x^{-1}x = e \in H ~~ \implies ~~ x \sim x</math>
# 对称性：<math>\forall x, y \in G,~~ x \sim y  \implies  x^{-1}y \in H </math>，因此<math> y^{-1}x = (x^{-1}y )^{-1} \in H </math>，因此<math> y \sim x \cdot  </math>
# 传递性：<math>\forall x, y, z \in A, ~~~( x \sim y ~~ \wedge ~~ y \sim z) ~~\implies~~ x^{-1}y \in H \wedge  y^{-1}z \in H </math>，因此<math> x^{-1}z = x^{-1}y \cdot y^{-1}z \in H </math>，因此<math>x \sim z \cdot </math>。

可以证明，<math>(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow(aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow(aH = bH)</math>。因此左陪集是由等价关系<math>\sim</math>确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果[[商群]]''G'' / ''H''存在，那么它的阶等于H对G的指数[G:H]。 

<math>{\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}</math>

上述写法在G为无限群时也成立。

===推论===

1. 由拉格朗日定理可立即得到：由有限群G中一个元素a的阶数整除群G的阶（考虑由a生成的循环群）。

2. 如果<math>n</math>是质数，那么所有阶数为<math>n</math>的群都同构（因为素数只有1和它本身为约数）。

===逆命题===

拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群''G''和一个整除''G''的阶的整数''d''，''G''并不一定有阶数为 
''d''的子群。最简单的例子是4次交替群''A''<sub>4</sub>，它的阶是12，但对于12的因数6，''A''<sub>4</sub>没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，[[柯西定理 (群论)|柯西定理]]和[[西洛定理]]给出了一个部分的回答。

== 参见 ==

* [[群]]
* [[正规子群]]
* [[西洛定理]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群论|L]]
[[Category:数学定理|L]]
[[Category:有限群]]