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{{expand|time=2007-10-16T16:33:49Z}} 在[[數學]]中,'''拉開'''(法文:éclatement,英文:blowing up)、'''單項變換'''或'''σ-過程'''是一種幾何的操作,[[代數幾何]]中的應用尤重。拉開是[[雙有理幾何]]的基本工具。對[[代數簇]]或[[複流形]] <math>M</math> 上一點 <math>Z</math> 的拉開是將該點換為該點[[法叢]]的[[射影叢]],或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射 <math>\mathrm{Bl}_Z: \tilde{M} \rightarrow M</math>,這是一個[[雙有理映射|雙有理等價]]。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一[[代數曲線|平面曲線]],並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。 ==對仿射空間中一點作拉開== 以下僅考慮[[複數]]域 <math>\mathbb{C}</math> 上的情形,一般構造準此可知。 令 <math>Z</math> 為複仿射空間 <math>\mathbb{C}^n</math> 的原點,仿射空間的元素以坐標表為 <math>(x_1, \ldots, x_n)</math>。令 <math>\mathbb{P}^{n - 1}</math> 為 <math>(n - 1)</math>-維複射影空間,其元素以[[齊次坐標]]表示為 <math>(y_1 : \ldots : y_n)</math>。 令 <math>\tilde{\mathbb{C}^n}</math> 為 <math>\mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1}</math> 中由等式 <math>x_i y_j = x_j y_i </math> 定義之閉子集,其中 <math>i, j = 1, \ldots, n</math>。則投影態射 :<math>\pi : \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1} \to \mathbb{C}^n</math> 自然地導出態射(特別也是[[全純函數]]) :<math>\pi : \tilde{\mathbb{C}^n} \to \mathbb{C}^n.</math> 此態射 <math>\pi</math>(或者更常指空間 <math>\tilde{\mathbb{C}^n}</math>)稱為 <math>\mathbb{C}^n</math> 的'''拉開'''。 '''例外除數''' <math>E</math> 定義為 <math>Z</math> 對態射 <math>\pi</math> 的逆像。可以證明 :<math>E = Z \times \mathbb{P}^{n - 1} \subseteq \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1}</math> 同構於射影空間。它是個非負[[除數 (代數幾何)|除數]],而且在 <math>E</math> 之外 <math>\pi: \tilde{\mathbb{C}^n} \setminus E \rightarrow \mathbb{C}^n \setminus Z</math> 是同構。因此 <math>\pi</math> 是 <math>\tilde{\mathbb{C}^n}</math> 與 <math>\mathbb{C}^n</math> 之同構。 ==對複流形的子流形作拉開== 一般來說,我們可以開任何餘維為 <math>k</math> 的複子流形 <math>Z \subset \mathbb{C}^n</math>。設 <math>Z</math> 由方程式 <math>x_1 = \cdots = x_k = 0</math>定義,並設 <math>(y_1: \ldots : y_k)</math> 為 <math>\mathbb{P}^{k - 1}</math> 上的[[齊次坐標]]。沿 <math>Z</math> 的拉開 <math>\tilde{\mathbb{C}^n}</math> 定義為方程 <math>x_i y_j = x_j y_i</math>(對所有 <math>i, j</math> )在空間 <math>\mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{k - 1}</math> 中定義的閉子集。 進一步推廣,我們可拉開任何複流形 <math>X</math> 的任一複子流形 <math>Z</math>,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將 <math>Z</math> 拉開為例外[[除子]] <math>E</math>。而拉開態射 :<math>\pi : \tilde X \to X</math> 依然是雙有理的,並在 <math>E</math> 外是同構。 <math>E</math> 可自然地視作 <math>Z</math> 的[[法叢]]的射影化,因此 <math>\pi|_E : E \to Z</math> 局部上是[[纖維化映射]],其纖維為 <math>\mathbb{P}^{k - 1}</math>。 由於 <math>E</math> 是平滑[[除子]],其法叢為[[線叢]]。對於[[代數曲面|曲面]]的情形,可證明 <math>E</math> 的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。<math>E</math> 是其[[同調]]類在 <math>\tilde X</math> 上的唯一代表,原因在於:假設 <math>E</math> 經擾動後變為代表同一[[同調]]類的另一個複子流形,則它和 <math>E</math> 的相交數必為正,故矛盾。這是例外[[除子]]之所以「例外」之故。 設 <math>V</math> 維某個 <math>X</math> 中不等於 <math>Z</math> 的複子流形。若 <math>V</math> 不交 <math>Z</math>,則它本質上不受沿 <math>Z</math> 的拉開影響。然而若有相交,則 <math>V</math> 在 <math>\tilde X</math> 中導出兩個幾何對象:一者是'''真變換'''或稱'''嚴格變換''',它是 <math>\pi^{-1}(V \setminus Z)</math> 在 <math>\tilde X</math> 中的閉包,其法叢一般與 <math>V</math> 的不同。另一者是'''全變換''',包含 <math>E</math> 的全體或一部分,其同調類基本上是 <math>V</math> 的[[上同調]]類之拉回。 ==推廣:概形的拉開== 拉開可以在一般的[[概形]]上定義。令 <math>X</math> 為一概形,並設 <math>\mathcal{I}</math> 為其上一凝聚理想層,<math>X</math> 沿 <math>\mathcal{I}</math> 的拉開是概形 <math>\tilde{X}</math> 及[[真態射]] :<math>\pi: \tilde{X} \rightarrow X</math> 使得 <math>\pi^{-1} \mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_Y</math> 是[[可逆層]],此拉開由下述[[泛性質]]刻劃: : 對任何態射 <math>f: Y \rightarrow X</math>,若它使得 <math>f^{-1} \mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_Y</math> 是可逆層,則 <math>f</math> 唯一地透過 <math>\pi</math> 分解。 此拉開可具體地由 :<math>\tilde{X}=\mathbf{Proj} (\oplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{I}^n) </math> 構造。當 <math>X</math> 是[[射影態射|擬射影概形]]時,<math>\pi</math> 將是[[射影態射]]。 ==重要性質== ===與有理映射的關係=== ===與奇點解消的關係=== ===曲面的拉開=== 在平滑的射影曲面上,任何[[雙有理等價]]皆可分解為一系列的拉開與縮回。 以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具: '''定理''' . 設 <math>X</math> 為平滑射影曲面,<math>D = \sum C_i</math> 為 <math>X</math> 上一個既約除數,若其相交矩陣 <math>(C_i \cdot C_j)_{ij}</math> 負定,則 <math>X</math> 可表成某個代數曲面的拉開,使得 <math>D</math> 為其例外除數。 ===相交理論=== ==相關的建構== ===向法錐變形=== '''向法錐變形'''的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 <math>X</math> 及其閉子概形 <math>V</math>,我們在 <math>Y := X \times \mathbb{A}^1</math> 中拉開 <math>V \times (0)</math>,則 :<math>\tilde Y \to X \times \mathbb{A}^1</math> 是纖維化映射。沿著 <math>\mathbb{A}^1</math> 的一般纖維自然同構於 <math>X</math>,而中心纖維則是兩個概形的并集:一者是 <math>X</math> 沿 <math>V</math> 的拉開;另一者則是 <math>V</math> 的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。 ===辛流形的拉開=== 拉開也可以在[[辛流形]]的[[範疇論|範疇]]中施行,稱作'''辛拉開'''。方式是將[[辛流形]]賦予[[殆複結構]],然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 <math>E</math> 延拓,而必須在 <math>E</math> 的一個鄰域上修改之;或藉著將 <math>Z</math> 的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用[[辛切割]]的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。 ==文獻== *{{cite book | author=Fulton, William | title=Intersection Theory | publisher=Springer-Verlag | year=1998 | id= ISBN 978-0-387-98549-7 }} *{{cite book | author=Griffiths, Phillip and Harris, Joseph | title=Principles of Algebraic Geometry | publisher=John Wiley & Sons | year=1978 | id=ISBN 978-0-471-32792-9 }} *{{cite book | author=Hartshorne, Robin | title=Algebraic Geometry | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | id=ISBN 978-0-387-90244-9 }} *{{cite book | author=McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar | title=Introduction to Symplectic Topology | publisher=Oxford University Press | year=1998 | id=ISBN 978-0-19-850451-1 }} [[Category:代數幾何|L]] [[Category:复流形]]
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