查看“拟凸函数”的源代码

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[[File:Quasiconvex function.png|right|thumb|这个函数不是凸的，但是是拟凸的]] 
[[File:Nonquasiconvex function.png|right|thumb|这个函数不是拟凸的]]
[[File:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|[[正態分布]]的[[概率密度函数]]是拟凹的，但不是凹的]]

'''拟凸函数'''（Quasiconvex function）是一类定义在实[[向量空间]]的[[区间]]或凸子集上的实值函数，且满足对任意实数<math>a</math>，<math>(-\infty, a)</math>的[[原像]]都是[[凸集]]。反之如果原像都是凹集，则称为'''拟凹函数'''。

凸函数一定是拟凸函数，但反之则不然，因此拟凸函数是一个更广泛的概念。凹函数的情况也类似。

== 定义与性质 ==
设函数<math>f:S \to \mathbb{R}</math>定义在实向量空间的凸子集<math>S</math>上。我们称<math>f</math>是拟凸的，如果对任意的<math>x, y \in S</math>和<math>\lambda \in [0,1]</math>都有
:<math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}</math>。
另一种等价的定义则是任何的<math>S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}</math>都是凸集。

如果有<math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y) < \max\big\{f(x),f(y)\big\}</math>，则称<math>f</math>是'''严格拟凸'''的。

类似地，可以定义拟凹函数和严格拟凹函数。我们称<math>f</math>是拟凹的，如果对任意的<math>x, y \in S</math>和<math>\lambda \in [0,1]</math>都有
:<math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big\{f(x),f(y)\big\}</math>。
如果有<math>f(\lambda x + (1 - \lambda)y) > \min\big\{f(x),f(y)\big\}</math>，则称<math>f</math>是'''严格拟凹'''的。

如果一个函数既是拟凸的又是拟凹的，则称其为'''拟线性'''的。

== 参见 ==
*[[凸函数]]
*[[凹函数]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:实分析]]
[[Category:凸优化]]
[[Category:各类函数]]
[[Category:凸分析]]