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'''摩尔－彭若斯广义逆''' ''A''+（Moore–Penrose pseudoinverse）是最著名的[[广义逆阵]]，也是该词的通俗意思。

1903年，[[埃里克伊姆]]（Erik Ivar Fredholm）提出[[积分算子]]的伪逆的概念。摩尔－彭若斯广义逆先后被[[以利亚金·黑斯廷斯·摩尔]]（Eliakim Hastings Moore）（1920年）<ref name="Moore1920">{{cite journal | last=Moore 
| first=E. H. 
| authorlink=E. H. Moore 
| title=On the reciprocal of the general algebraic matrix 
| journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] 
| volume=26 |issue=9| pages=394–395 
| year=1920 
| url =http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183425340 
| doi = 10.1090/S0002-9904-1920-03322-7 }}</ref>、[[阿恩·布耶哈马]]（Arne Bjerhammar）（1951年） <ref name="Bjerhammar1951">{{cite journal 
| last=Bjerhammar| first=Arne| authorlink=Arne Bjerhammar 

| title=Application of calculus of matrices to method of least squares; with special references to geodetic calculations

| journal=Trans. Roy. Inst. Tech. Stockholm | year=1951 
| volume = 49}}</ref>、[[罗杰·彭罗斯]]（1955年）<ref name="Penrose1955">{{cite journal 
| last=Penrose | first=Roger | authorlink=Roger Penrose 
| title=A generalized inverse for matrices 
| journal=[[Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]] 
| volume=51 | pages=406–413 | year=1955 
| doi=10.1017/S0305004100030401}}</ref>发现或描述。

它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小[[范数]]最小二乘解（[[最小二乘法]]）。

矩阵的摩尔－彭若斯广义逆在[[实数]]域和[[复数]]域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

== 定义 ==
定义一

令'''P'''<sub>S</sub>表示到向量空间''S''上的[[正交投影]]。对于任意一个m乘n的复矩阵'''A'''，设''R''('''A''')表示'''A'''的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵'''A'''的广义逆矩阵'''G'''必须满足的条件：

<center>
<math>\boldsymbol{AG}=\boldsymbol{P}_{R(\boldsymbol{A})},\boldsymbol{GA}=\boldsymbol{P}_{R(\boldsymbol{A_H})}</math>
</center>

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵'''G'''称为矩阵'''A'''的摩尔逆矩阵。


定义二

彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件<ref name="Penrose1955" />：

# <math>\boldsymbol{AGA}=\boldsymbol{A}</math>， <math>\boldsymbol{AG}</math>不一定是[[单位矩阵]]，但却不会改变<math>\boldsymbol{A}</math>的列向量。
# <math>\boldsymbol{GAG}=\boldsymbol{G}</math>， <math>\boldsymbol{G}</math>是乘法[[半群]]的[[弱逆]]
# <math>(\boldsymbol{AG})^{\boldsymbol{H}}=\boldsymbol{AG}</math>， <math>\boldsymbol{AG}</math>是[[埃尔米特矩阵]]
# <math>(\boldsymbol{GA})^{\boldsymbol{H}}=\boldsymbol{GA}</math>， <math>\boldsymbol{GA}</math>也是[[埃尔米特矩阵]]

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵'''G'''，就称为'''A'''的摩尔－彭若斯广义逆矩阵，记作''A''<sup>+</sup>。

== 性质 ==
从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质<ref name="Penrose1955" />：

*<math>(\boldsymbol{A}^H)^\dagger=(\boldsymbol{A}^\dagger)^H</math>
*<math>\boldsymbol{A}^\dagger \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H =\boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\dagger=\boldsymbol{A}^H</math>
*<math>\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^H (\boldsymbol{A}^H)^\dagger=(\boldsymbol{A}^H)^\dagger \boldsymbol{A}^H \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}</math>
*<math>\boldsymbol{A}^\dagger \boldsymbol{A}</math>，<math>\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\dagger</math>，<math>(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}^\dagger \boldsymbol{A})</math>和<math>(\boldsymbol{I}-  \boldsymbol{A}^\dagger \boldsymbol{A})</math>都是幂等矩阵。

== 参考 ==
=== 书籍 ===
*{{Cite book | author = 张贤达 | title = 矩阵分析与应用 | location = 北京 | publisher = 清华大学出版社 | date = 2004年9月 | pages = 85-99 | ISBN = 7-302-09271-0 | language = 中文 }}

=== 文献 ===
{{Reflist}}



[[Category:线性代数]]