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'''擬等距同構'''是[[數學]]上[[度量空間]]之間的[[等價關係]]，著重在度量空間上的[[粗結構]]，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。

==定義==
設有兩個度量空間<math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math>，並有（未必[[連續]]的）[[映射]]<math>f:X \to Y</math>。若存在常數<math>L \geq 1</math>, <math>C\geq 0</math>，使得對所有<math>x_1,x_2\in X</math>，有
::<math>d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C</math>
那麼稱映射''f''是(''L'', ''C'')-'''粗利普希茨'''的。這條不等式，可視為''f''在長距離時差不多是''L''-[[利普希茨連續]]的。

若對所有<math>x_1,x_2\in X</math>，有
::<math>\frac 1 L d_X(x_1,x_2) - C \leq d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C</math>
那麼稱映射''f''是一個(''L'', ''C'')-'''擬等距嵌入'''。雖然''f''不一定符合平常意義上的[[嵌入 (數學)|嵌入]]，即''f''未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的[[像]]也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義：
*若<math>f:X \to Y</math>是(''L'', ''C'')-粗利普希茨映射，且存在(''L'', ''C'')-粗利普希茨映射<math>g:Y \to X</math>，使得對所有<math>x\in X</math>，所有<math>y\in Y</math>，都有
::<math>d_X(g(f(x)),x) \leq C</math>
::<math>d_Y(f(g(y)),y) \leq C</math>
:那麼稱映射''f''為(''L'', ''C'')-'''擬等距映射'''。這兩條不等式，可視為在長距離時，''f'', ''g''差不多是互為[[逆映射]]。

*''f''是一個(''L'', ''C'')-擬等距嵌入，並且對任一點<math>y\in Y</math>，都存在<math>x\in X</math>使
::<math>d_Y(y,f(x)) \leq C</math>
:那麼稱映射''f''為(''L'', ''C'')-'''擬等距映射'''。這條不等式，是說''Y''中每一點距離''X''的[[像]]''f''(''X'')都不超過''C''。對這定義的''f''，可以構造前一定義的''g''如下：對每一點<math>y\in Y</math>，取任一個<math>x\in X</math>使得<math>d_Y(y,f(x)) \leq C</math>，並令<math>g(y):=x</math>。

這兩個定義中的''L'', ''C''值可能不同。

兩個度量空間<math>(X,d_X)</math>, <math>(Y,d_Y)</math>若存在(''L'', ''C'')-擬等距映射''f''，則''X'', ''Y''稱為(''L'', ''C'')-'''擬等距同構'''。<ref>http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf Cornelia Drutu and Michael Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory
</ref>若常數''L'', ''C''的值不要緊時，可以簡單地稱''X'', ''Y''為'''擬等距同構'''。

對度量空間''X'', ''Y'', ''Z''，如果<math>f_1:X\to Y</math>, <math>f_2:Y\to Z</math>都是擬等距映射，那麼<math>f_2 \circ f_1:X\to Z</math>也是擬等距映射。

==例子==
設函數<math>f:\mathbb R \to \mathbb Z</math>，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼''f''是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取''L''=1, ''C''=1，而<math>g:\mathbb Z \to \mathbb R</math>可用''g''(''x'')=''x''。因此<math>\mathbb R</math>和<math>\mathbb Z</math>是擬等距同構。<math>\mathbb R</math>和<math>\mathbb Z</math>是擬等距同構。

對任何正整數''n''，<math>\mathbb R^n</math>和<math>\mathbb Z^n</math>間也有類似的擬等距映射，所以<math>\mathbb R^n</math>和<math>\mathbb Z^n</math>是擬等距同構。

任何兩個[[有界集合|有界]]的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

==群論上的應用==
一個[[有限生成群]]''G''，其中任何兩個有限[[生成集合]]''S'', ''T''賦予''G''兩個[[字度量]]<math>d_S</math>, <math>d_T</math>，那麼<math>(G, d_S)</math>和<math>(G, d_T)</math>是擬等距同構。所以縱使''G''可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。[[幾何群論]]中的[[雙曲群]]正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據[[施瓦茨－米爾諾引理]]，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。

==參考==
{{reflist}}

[[Category:幾何群論]]
[[Category:度量幾何]]