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{{noteTA
|1=zh-cn:复根; zh-tw:複根;
|2=zh-cn:复导数; zh-tw:複導數;
}}
'''收敛半径'''是[[数学]]中与[[幂级数]]有关的概念。一个[[幂级数]]的'''收敛半径'''是一个非负的[[扩展的实数轴|扩展实数]]（包括[[无穷大]]）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的[[函数]][[一致收敛]]，并且[[幂级数]]就是此函数展开得到的[[泰勒级数]]。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

==定义==
定义幂级数''f''为：<math>f(z) =  \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,</math>。其中常数''a''是[[幂级数|收敛圆盘]]的中心，''c''<sub>''n''</sub>为第''n''个[[複數|複]]系数，''z''为变量。

'''收敛半径'''''r''是一个非负的实数或无穷大（<math>\scriptstyle \infty</math>），使得在<math>|z-a| < r</math>时幂级数收敛，在<math>|z-a| > r</math>时幂级数发散。

具体来说，当''z''和''a''足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |''z'' - ''a''| = ''r''的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些''z''可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数''z''都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

== 收敛半径的计算 ==
根据[[达朗贝尔判别法|达朗贝尔审敛法]]，收敛半径<math>R</math>满足：如果幂级数<math>\sum a_n x^n</math>满足<math>\lim_{n \to \infty} \left \vert {a_{n+1} \over a_n} \right \vert   = \rho</math>，则：
:{|border="0"
|-
|<math> \rho \neq 0</math>时，<math>R = {1 \over \rho}</math>。
|-
| <math> \rho = 0</math>时，<math>R = + \infty</math>。
|-
|<math> \rho = +\infty</math>时，<math>R = 0</math>。
|}

根据[[根值审敛法]]，则有[[柯西-阿达马公式]]：
:<math>R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}</math>
:或者<math>\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}</math>。

== 复分析中的收敛半径 ==
将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个[[全纯函数]]。收敛半径可以被如下定理刻画：
:一个中心为''a''的幂级数''f''的收敛半径''R''等于''a''与离''a''最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到''a''的距离严格小于''R''的所有点组成的集合称为'''收敛圆盘'''。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数
:<math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math>
没有复根。它在零处的泰勒展开为：
:<math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}</math>
运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数<math>f(z)</math>在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。


===简单的例子===


三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数： 

:<math>\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .</math>

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

===一个更复杂的例子===

考虑如下幂级数展开：

:<math>\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n</math>

其中有理数''B''<sub>''n''</sub>是所谓的[[伯努利数]]。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当''z''=0时，函数没有奇性，因为是[[可去奇点]]。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得
:<math>e^z-1=0</math>
的复数''z''。设''z'' = ''x'' + ''iy''，那么
:<math>e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)),\,</math>

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有<math>y = k\pi</math>，其中<math>k \in Z \ , \ k \neq 0 </math>。同时得到<math>x=0</math>。回代后发现<math>k</math>只能为偶数，于是使得分母为零的''z''为<math>2k\pi i</math>的形式，其中<math>k \in Z \ , \ k \neq 0 </math>。

离原点最近距离为<math>2\pi</math>，于是收敛半径为<math>2\pi</math>。

== 收敛圆上的敛散性 ==
如果幂级数在''a''附近可展，并且收敛半径为''r''，那么所有满足 |''z'' &minus; ''a''| = ''r''的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为'''收敛圆'''。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定[[绝对收敛]]。


例1:函数&fnof;(''z'') = (1 &minus; ''z'')<sup>&minus;1</sup>在''z'' = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例2:函数''g''(''z'') = ln(1 &minus; ''z'')在''z'' = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在''z'' = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数&fnof;(''z'')是 -''g''(''z'')的[[導數|复导数]]。

例3:幂级数
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n </math> 

的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设''h''(''z'')是这个级数对应的函数，那么''h''(''z'')是例2中的''g''(''z'')除以''z''後的导数。''h''(''z'')是[[双对数]]函数。

例4:幂级数
:<math>P(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\cdot n}(z^{2^{n-1}} + \cdots + z^{2^n-1})</math>
的收敛半径是1并在整个收敛圆上[[一致收敛]]，但是并不在收敛圆上绝对收敛<ref>{{citation|last=Sierpiński|first=Wacław|author-link=瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基|year=1918|title=O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie|periodical=Prace matematyka-fizyka|volume=29|pages=263–266}}</ref>。

==收敛速率==
{{main|收敛速率}}
将下列函数在''x'' = 0处展开：

:<math>f(x)=\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \ \forall x</math>

可以看到收敛半径为<math>\scriptstyle\infty</math>，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到&fnof;(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在''x'' = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于&fnof;(10)，需要18项，对于&fnof;(100)则需要141项。

[[File:TaylorComplexConv.png|thumb|300px|文中提及的曲线的图例：红、蓝线为逼近线，白圈为收敛圆。]]
可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。

== 图例 ==
考虑函数1/(''z''<sup>2</sup> + 1)，对应的图像见右。函数在''z'' = <math>\scriptstyle \pm</math>''i''处有[[极点]]。

与上面的例子类似，由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在''z'' = 0处的[[泰勒级数]]收敛当且仅当 |''z''| < 1。

==狄利克雷级数的收敛度规==

与收敛半径类似的一个概念是[[狄利克雷级数]]的'''收敛度规'''，也就是使得级数<math>\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s}</math>收敛的最小的''s''，其只依赖于数列''a''<sub>''n''</sub>。

==参见==
*[[无穷级数]]
*[[幂级数]]
*[[阿贝尔定理]]
*[[阿贝尔型定理和陶伯型定理]]
*[[哈代-李特爾伍德圓法]]
*[[收敛度规]]

==参考来源==
{{reflist}}

* {{Citation | last1=Brown | first1=James | last2=Churchill | first2=Ruel | title=Complex variables and applications | publisher=McGraw-Hill | location=New York | isbn=978-0-07-010905-6 | year=1989}}
* {{Citation | last1=Stein | first1=Elias | last2=Shakarchi | first2=Rami | title=Complex Analysis | publisher=Princeton University Press | location=Princeton, New Jersey | isbn=0-691-11385-8 | year=2003}}
*{{cite web |url = http://www.aihuau.com/lzzgs/gs10/10.4.htm |title = 幂级数 |accessdate = 2008-09-10 |deadurl = yes |archiveurl = https://web.archive.org/web/20081121075618/http://www.aihuau.com/lzzgs/gs10/10.4.htm |archivedate = 2008-11-21 }}
*{{cite web |url = http://sxx.gzbjc.edu.cn/fbhs/jiaoandoc/4_1(1).doc |title = 毕节学院复变函数教程 |accessdate = 2008-09-10 }}{{dead link|date=2018年3月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

==外部链接==
*{{en}}{{cite web |url=http://www.lassp.cornell.edu/sethna/Cracks/What_Is_Radius_of_Convergence.html | title=收敛半径是什么？ |accessdate=2008-09-10}}

[[Category:复分析|S]]
[[Category:级数]]