查看“数学巧合”的源代码

{{NoteTA
|G1=物理學
|G2=数学}}
在[[数学]]中，'''数学巧合'''指的是两个[[数学表达式]]的值极为接近，却未有任何理论解释的现象。

例如，[[2]]的10次方非常接近于整数[[1000]]：
:<math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>
[[工程学]]中有时会利用数学巧合，使用某个表达式去[[近似]]计算另一个表达式。

== 有理数近似 ==
在某些情况下，用简单的[[有理数]]近似可以极其逼近某个[[无理数]]。大部分这类巧合可以用无理数的[[连分数]]表示法来解释；但是，若要进一步探究连分数展开中出现的不寻常大项，则有时是无法通过理论解释的。

=== π ===
* [[圆周率]]{{Pi}}的第一个[[连分数]]近似——[3; 7] = 22/7 = 3.1428...，由[[阿基米德]]给出，误差约为0.04%。{{Pi}}的连分数近似的前三项——[3; 7, 15, 1] = [[密率|355/113]] = 3.1415929...，由[[祖冲之]]给出<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=4e9LAAAAMAAJ&q=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355&dq=intitle:Development+intitle:%22China+and+Japan%22+355|title=Development of Mathematics in China and Japan|last=Yoshio Mikami|publisher=B. G. Teubner|year=1913|page=135}}</ref>，精确到小数点后6位<ref name="beckmann">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=TB6jzz3ZDTEC&pg=PA101&dq=pi+113+355++digits|title=A History of Pi|last=Petr Beckmann|publisher=Macmillan|year=1971|isbn=978-0-312-38185-1|pages=101, 170}}</ref>。{{Pi}}之所以会在连分数近似的第三项达到如此高精确度是因为连分数表示[3; 7, 15, 1, 292, ...]中的下一项——292——是不寻常的大项<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent|title=CRC concise encyclopedia of mathematics|last=Eric W. Weisstein|publisher=CRC Press|year=2003|isbn=978-1-58488-347-0|page=2232}}</ref>。
* <math>\pi \approx 4 / \sqrt{\varphi} = 3.1446\dots</math>，其中φ为[[黄金分割率]]。此式与[[开普勒三角#數學巧合|开普勒三角]]有关。有人认为[[胡夫金字塔]]的建造利用了一个或多个数学巧合，但不是刻意为之的可能性更大<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=_8TyhSqHUiEC&pg=PA2232&dq=pi+113+355++292+convergent|title=The Shape of the Great Pyramid|last=Roger Herz-Fischler|publisher=Wilfrid Laurier University Press|year=2000|isbn=978-0-889-20324-2|page=67}}</ref>。另一个关于黄金分割率的近似是<math>\pi\approx\frac{6}{5}\varphi^2</math>，误差在0.002%以内。
* 位于圆周率小数点后第762位的[[圆周率中的六个9|连续的六个9]]。对于一个随机选取的[[正规数]]，能在小数点后762位就出现一组特别的六位数字的概率只有0.08%<ref name=ArndtHaenel>{{Citation |last=Arndt |first=J. |lastauthoramp=yes |last2=Haenel |first2=C. |title=Pi — Unleashed |location=Berlin |publisher=Springer |page=3 |year=2001 |isbn=3-540-66572-2 }}.</ref>。{{Pi}}是否是一个正规数还不为人知。

=== ''e'' ===
* 1828这一串数字在[[E (数学常数)|''e'']] = 2.718281828....的前9位中就连续出现了两回。
* ''e'' 的前50万位中出现了一串“99999999”（8个9）<ref>{{Cite web|url=https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil|title=The Number e to 1 Million Digits|accessdate=14 February 2017|publisher=NASA}}</ref>。

=== 2的幂 ===
* <math>2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3</math>，误差为2.4%。对应的有理近似（rational approximation）为：<math>\textstyle\frac{\log10}{\log2} \approx 3.3219 \approx \frac{10}{3}</math> 或 <math> 2 \approx 10^{3/10}</math>，误差在0.3%以内。这个数学巧合在工程学中有实际应用：例如两个[[功率]]比为1：2的信号，[[分贝]]数大约有-3&nbsp;dB的差异（准确值为3.0103&nbsp;dB，见{{le|半功率点|Half-power point}}）；也可以用于联系 [[kibibyte|KiB]] 与 [[千字节|KB]]（见[[二进制乘数词头]]）<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=VgLCb7B3OtYC&pg=PA195&dq=3.0103+1024+1000|title=Matlab und Simulink|last=Ottmar Beucher|publisher=Pearson Education|year=2008|isbn=978-3-8273-7340-3|page=195}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=6nmnbIxpY3MC&pg=PA278&dq=3.0103-db|title=Digital Filters in Hardware: A Practical Guide for Firmware Engineers|last=K. Ayob|publisher=Trafford Publishing|year=2008|isbn=978-1-4251-4246-9|page=278}}</ref>。

* <math>2^7 =128 \approx 125 = 5^3</math>，误差约为2.4%，对应的有理近似为：<math>\textstyle\frac{\log5}{\log2} \approx 2.3219 \approx \frac{7}{3}</math> 或 <math> 2 \approx 5^{3/7}</math>，误差也在0.3%以内。在[[摄影]]中，可以应用此近似估计相机的设置：如果[[快門速度|曝光时间]]从1秒减少为1/125秒，若要保持[[曝光值]]不变，可以[[光圈]]转动7格（stop）；由于光圈环转动一格，[[照度]]相差一倍，7格光圈对应的就是照度<math>2^7 = 128</math>倍的变化<ref name=schroeder/>，大致符合[[倒易律]]的要求。

* <math>2^{7/12}\approx 3/2</math>，误差约为0.1%。[[十二平均律]]用7个[[半音]]来近似[[五度相生律]]的[[纯五度]]即为此数学巧合的应用<ref name="schroeder">{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=2KV2rfP0yWEC&pg=PA27&dq=coincidence+circle-of-fifths+1024+7-octaves+%22one+part+in+a+thousand%22|title=Number theory in science and communication|last=Manfred Robert Schroeder|publisher=Springer|year=2008|isbn=978-3-540-85297-1|edition=2nd|pages=26–28}}</ref>。

== 数字表达式 ==
=== 包含 π ===
* <math>\pi^2\approx10</math>；误差约为1.3%<ref name="Pi">Frank Rubin, [http://www.contestcen.com/pi.htm The Contest Center – Pi].</ref>，可以通过[[黎曼ζ函數|ζ函數]]的公式 <math>\zeta(2)=\pi^2/6</math> 来理解这个近似<ref>[http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf Why is <math>\pi^2</math> so close to 10?], [//en.wikipedia.org/wiki/Noam_Elkies Noam Elkies]</ref>。
* <math>\pi^2\approx 227/23</math>；误差约为0.0004%。
* <math>\pi^3\approx 31</math>；误差约为0.02%。
* <math>\sqrt[5]{\pi^3+1}\approx 2</math>；误差约为0.004%。
* <math>\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4}</math> 或 <math>22\pi^4\approx 2143</math> 精确度达到小数点后八位（出自[[斯里尼瓦瑟·拉马努金|拉马努金]]的《Quarterly Journal of Mathematics》, XLV, 1914, pp.&nbsp;350–372）。拉马努金写道，这是通过“经验性地获得的”关于 <math>\pi</math> 的一个“令人好奇的近似”，和文章中的其他理论没有任何联系。
: <math> \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525 \dots </math>
: <math> \sqrt[5]{306} = 3.14155 \dots </math>
: <math> \sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3.1415924 \dots </math>
: <math> \sqrt[7]{\frac{21142}{7}} = 3.14159 \dots </math>
: <math> \sqrt[8]{9488} = 3.1415 \dots </math>
: <math> \sqrt[11]{294204} = 3.1415926 \dots </math>
: <math> \sqrt[27]{26487841119103} = 3.14159265358979 \dots </math>
一些貌似合理的近似甚至达到了极高的精确度，但仍然只是一种数学巧合。例如：
: <math>\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8}</math>
式子的两边直到小数点后第42位才有所不同<ref name=10problem>{{cite web|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/tenproblems.pdf|title=Ten Problems in Experimental Mathematics|author1=David H. Bailey|author2=Jonathan M. Borwein|author3=Vishaal Kapoor|author4=Eric W. Weisstein|date=2006-03-09}}</ref>{{#tag:ref|这个对于cos函数的上限无穷的积分看似是发散的，但实际上，可以证明 <math>\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x < \frac{\pi}{8}</math>（详见所引参考资料<ref name=10problem/>的第八个问题）。|group="注"}}。

=== 包含 π 和 ''e'' ===

* <math>\pi^4+\pi^5\approx e^6</math>，误差约为0.000 005%。
* <math>\sqrt[4]{3^3 e^\pi} \approx 5</math>，误差约为0.008%。
* <math>{ 3 }^{ \frac { \pi +e }{ 4 }  } \approx 5</math>，误差约为0.000 538%（Joseph Clarke, 2015）。
* <math>e^\pi - \pi\approx 19.99909998 </math>（Conway, Sloane, Plouffe, 1988），等价于 <math>(\pi+20)^i=-0.999 999 999 2\ldots -i\cdot 0.000 039\ldots \approx -1</math><ref name="wolfram">{{MathWorld|title=Almost Integer|urlname=AlmostInteger}}</ref>。
* <math> \pi^{3^2}/e^{2^3}=9.9998\ldots\approx 10</math>
* <math> e^{-\frac{\pi}{9}} + e^{-4\frac{\pi}{9}} + e^{-9\frac{\pi}{9}} + e^{-16\frac{\pi}{9}} + e^{-25\frac{\pi}{9}} + e^{-36\frac{\pi}{9}} + e^{-49\frac{\pi}{9}} + e^{-64\frac{\pi}{9}} = 1.00000000000105... \approx 1</math>

=== 包含 π 或 ''e'' 和 163 ===

* <math>{163}\cdot (\pi - e) \approx 69</math>，误差约为0.0005%。
* <math>\frac{163}{\ln 163} \approx 2^{5}</math>，误差约为0.000004%。
* [[黑格纳数#拉马努金常数|拉马努金常数]]：<math>e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744</math>，误差约为<math>2.9\cdot 10^{-28}\%</math>，于1859年由[[夏爾·埃爾米特]]发现<ref>{{Cite book|title=The Constants of Nature|last=Barrow|first=John D|publisher=Jonathan Cape|year=2002|isbn=0-224-06135-6|location=London}}</ref>。

=== 对数 ===
* <math>\ln 2\approx \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}</math>，误差约为0.00024%。

=== 其他 ===
* [[偶然對消]]<ref>{{MathWorld|title=Anomalous Cancellation|urlname=AnomalousCancellation}}</ref>：
** <math>\,\frac {16} {64} = \frac {1\!\!\!\not6} {\not6  4} = \frac {1} {4}</math>，&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {26} {65} = \frac {2\!\!\!\not6} {\not6  5} = \frac {2} {5}</math>，&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac {19} {95} = \frac {1\!\!\!\not9} {\not9  5} = \frac {1} {5}</math>，&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac{49}{98}=\frac{4\!\!\!\not9}{\not98}=\frac{4}{8}</math>，并且这四个分数的乘积恰好为1/100。
* [[傅利曼數]]：
** <math>\,127 = -1 + 2^7</math>。127是最小的好傅利曼数。
** <math>\,(3 + 4)^3 = 343 </math><ref>[http://primes.utm.edu/curios/page.php/343.html Prime Curios!: 343].</ref>
** <math>\,2^5 \cdot 9^2 = 2592</math>。2592也是一个好傅利曼数<ref name="Friedman">Erich Friedman, [http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html Problem of the Month (August 2000)].</ref>。
* [[水仙花数]]<ref>{{OEIS|A005188}}</ref>：
** <math>\,1^3 + 5^3 + 3^3 = 153</math>
** <math>\,3^3 + 7^3 + 0^3 = 370</math>
** <math>\,3^3 + 7^3 +1^3 = 371</math>
** <math>\,4^3 + 0^3 +7^3 = 407</math>
* [[666]]:
** <math>\,\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \varphi/2</math>，其中 <math>\varphi</math> 是[[黄金分割率]]<ref name="BeastNumber">{{MathWorld|title=Beast Number|urlname=BeastNumber}}</ref>。
** <math>\,\phi(666)=6\cdot6\cdot6</math>，其中 <math>\phi</math> 为[[欧拉函数]]。
* [[生日問題]]中的 <math>\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}=\frac{253}{365}</math> 与 <math>\ln(2)</math> 的小数点后前四位是相同的<ref>{{Cite journal|title=Poisson approximation and the Chen-Stein method|last=Arratia|first=Richard|last2=Goldstein|first2=Larry|journal= Statistical Science|issue=4|doi=10.1214/ss/1177012015|year=1990|volume=5|pages=403–434|jstor=2245366|mr=1092983|last3=Gordon|first3=Louis}}</ref>。
* <math>\,31</math>、<math>331</math>、<math>3331</math>、<math>33331</math>、<math>333331</math>、<math>3333331</math>和<math>33333331</math>都是素数，但<math>333333331=17 \cdot 19607843</math>不是素数。
* <math>123456789 \cdot 8 = 987654312</math>。
* <math>\,2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7</math>；符合这类条件的数字中最大的一个是12157692622039623539<ref>{{OEIS|A032799}}</ref>。
* <math>\,3^3+4^4+3^3+5^5=3435</math>。
* <math>\,(8+1)^2=81</math>。81是除了0和1以外唯一符合这类条件的数字。
* <math>\,(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4{,}913</math>、<math>\,(5 + 8 + 3 + 2)^3 = 5{,}832</math>和<math>\,(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19{,}683</math><ref>{{OEIS|A061209}}</ref>。
* <math>\,588^2+2353^2 = 5882353 </math>与<math>\, 1/17 = 0.0588235294117647\ldots</math>的小数点后前八位0.05882353有重合。5882353恰好还是一个素数。
* <math>\,10! = 6! \cdot 7! = 1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot 7!</math><ref>Harvey Heinz, [http://www.magic-squares.net/narciss.htm#Factorial%20Products ''Narcissistic Numbers''].</ref>。
* <math>\,1! + 4! + 5! = 145</math>。符合这类条件的数只有四个：1、2、145和40585<ref>{{OEIS|A014080}}</ref>。

== 物理世界中的数字巧合 ==

=== 光速 ===
[[光速]]的定义之所以是299,792,458&nbsp;m/s（非常接近300,000,000&nbsp;m/s的一个值），是因为一[[公尺]]的最初定义是通过[[巴黎]]的[[子午线]]上从地球[[赤道]]到[[北极点]]距离的千万分之一<ref>('decimalization is not of the essence of the metric system; the real significance of this is that it was the first great attempt to define terrestrial units of measure in terms of an unvarying astronomical or geodetic constant.) The metre was in fact defined as one ten millionth of one quarter of the earth's circumference at sea-level.' Joseph Needham, ''Science and Civilisation in China,'' Cambridge University Press, 1962 vol.4, pt.1, p.42.</ref>，而地球的周长恰好约为一[[光秒]]的2/15<ref name="Miracles">{{Cite web|url=http://www.numericana.com/answer/miracles.htm|title=Numerical Coincidences in Man-Made Numbers|accessdate=29 April 2011|last=Michon|first=Gérard P.|work=Mathematical Miracles}}</ref>。光速也可以被初略地估计为一[[英尺]]每[[纳秒]]（准确值为0.9836&nbsp;ft/ns）。

=== 地球直径 ===
地球的极直径约为5亿[[英尺]]，误差约为0.1%<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=xB0WSOokTg0C&pg=PA39|title=Our Inheritance in the Great Pyramid|last=Smythe|first=Charles|publisher=Kessinger Publishing|year=2004|isbn=1-4179-7429-X|page=39}}</ref>。

=== 重力加速度 ===
虽然地球的[[重力加速度]]会随着[[纬度]]和[[海拔]]的不同而变化，但其值在9.74m/s<sup>2</sup>与9.87m/s<sup>2</sup>之间，接近10m/s<sup>2</sup>。因此，根据[[牛頓第二運動定律|牛顿第二定律]]，一[[千克]]物体在地球表面受到的重力约为10[[牛頓 (單位)|牛]]<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=XcX_TvhNjK0C&pg=PA25&dq=approximation|title=Cracking the AP Physics B & C Exam, 2004–2005 Edition|publisher=Princeton Review Publishing|year=2003|isbn=0-375-76387-2|page=25}}</ref>。这一巧合实际上和之前提到的 {{pi}} 的平方接近10有关。[[公尺]]的一个早期定义是将半[[周期]]为一[[秒]]的[[单摆]]的摆长定义为一公尺。由于当摆角较小时，单摆的周期公式为：
: <math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math>
在这个定义下，重力加速度就会和 {{pi}} 的平方相等<ref>{{Cite web|url=https://www.wired.com/2013/03/what-does-pi-have-to-do-with-gravity/|title=What Does Pi Have To Do With Gravity?|accessdate=October 15, 2015|date=March 8, 2013|publisher=Wired}}</ref>。后来，基于地球的周长非常接近40,000,000倍的此定义下的一公尺的事实，公尺才被重新定义为地球周长的40,000,000分之一。

另外，重力加速度的估计值9.8&nbsp;m/s<sup>2</sup>等于1.03&nbsp;[[光年]]/年<sup>2</sup>；这是一个非常接近1的值。

=== 里德伯常量 ===
[[里德伯常量]]乘上[[光速]]的值接近于<math>\frac{\pi^2}{3}\times 10^{15}\ \text{Hz}</math>：

: <math>\underline{3.2898}41960364(17) \times 10^{15}\ \text{Hz} = R_\infty c</math><ref>{{Cite web|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?rydchz|title=Rydberg constant times c in Hz|accessdate=25 July 2011|work=Fundamental physical constants|publisher=NIST}}</ref>

: <math>\underline{3.2898}68133696\ldots = \frac{\pi^2}{3}</math>

=== 英里的立方与公里的立方 ===
一[[英里]]的立方约等于<math>\frac{4}{3}\pi</math>乘以一[[公里]]的立方（误差约为0.5%），意味着一个半径为 n 公里的球体与边长为 n 英里的立方体的体积几乎相等<ref>{{Cite book|title=What If?|last=Randall Munroe|year=2014|isbn=9781848549562|page=49}}</ref>。

=== 精细结构常数 ===
[[精细结构常数]] <math>\alpha</math> 的值接近 <math>\frac1{137}</math>：<math>\alpha = \frac1{137.035999074\dots}</math> 。

值得注意的是，因为 <math>\alpha</math> 是一个[[无量纲量]]，所以这一巧合与人为选定的[[计量单位|单位]]系统无关。

== 另见 ==
* [[接近整数]]
* {{le|实验数学|Experimental mathematics}}
* [[數學之美]]
* {{le|例外同构|Exceptional isomorphism}}

== 注释 ==
{{Reflist|group="注"}}

== 参考资料 ==
{{Reflist|2}}

== 外部链接 ==
* （俄文） В. Левшин. – ''Магистр рассеянных наук.'' – Москва, Детская Литература 1970, 256 с.
* [[戈弗雷·哈罗德·哈代|Hardy, G. H.]] – ''[[一个数学家的辩白|A Mathematician's Apology]].'' – New York: Cambridge University Press, 1993,  ({{ISBN|0-521-42706-1}})
* {{MathWorld|title=Almost Integer|urlname=AlmostInteger}}
* [http://www.futilitycloset.com/category/science-math/ Various mathematical coincidences] in the "Science & Math" section of futilitycloset.com
* Press, W. H., [https://web.archive.org/web/20120312092311/http://www.nr.com/whp/NumericalCoincidences.pdf Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate]

[[Category:数学术语]]
[[Category:趣味數學]]