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{{NoteTA|G1=Math}}
在[[黎曼几何]]中，'''数量曲率'''（{{lang|en|Scalar curvature}}）或'''里奇数量'''（{{lang|en|Ricci scalar}}）是一个[[黎曼流形]]最简单的[[曲率]]不变量。对黎曼流形的每一点，数量曲率是由该点附近的内蕴几何确定的一个[[实数]]。

在 2 维数量曲率完全确定了黎曼流形的曲率；当维数 &ge; 3，曲率比数量曲率含有更多的信息。参见[[黎曼流形的曲率]]中完整的讨论。

数量曲率一般记为 ''S''（其它记法有 ''Sc'', ''R''），定义为关于[[度量张量|度量]]的[[里奇曲率张量]]的[[迹]]：

:<math>S = \mbox{tr}_g\,\operatorname{Ric}\ .</math>

这个迹和度量相关，因为里奇张量是一个 (0,2) 型张量；必须将[[指标的上升和下降|指标上升]]得到一个 (1,1) 型张量才能取迹。在[[局部坐标]]中我们可以写成

:<math>S  = g^{ij}R_{ij}\ ,</math>
这里

:<math>\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i\otimes dx^j\ .</math>
给了一个坐标系与一个度量张量，数量曲率可以表示为：
:<math>S = g^{ab} (\Gamma^c_{ab,c} - \Gamma^c_{ac,b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd})</math>
这里 <math>\Gamma^a_{bc}</math> 是度量的[[克里斯托费尔符号]]。

不像[[黎曼曲率张量]]或[[里奇张量]]可以对任何[[仿射联络]]自然地定义，数量曲率只在黎曼几何存在；其定义与度量密不可分。

==直接几何解释==
当数量曲率在一点为正，位于这一点的一个小球的体积比[[欧几里得空间]]中同样[[测地线|测地半径]]的球要小；另一方面，当数量曲率在一点为负，小球的体积要大于欧几里德空间中小球的面积。

为了刻画一个 ''n'' 维黎曼流形 <math>(M,g)</math> 点 ''p'' 的数量曲率的准确值，上面的比较可以更加量化。即：对足够小的 &epsilon;，流形上半径 &epsilon; 小球的 ''n'' 维体积与相应的欧几里得空间中小球体积之比为

: <math> \frac{\operatorname{Vol}   (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}  
 (B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{S}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)\ .</math>

从而，这个比的二阶导数在 &epsilon;&nbsp;=&nbsp;0 的取值，恰好是数量曲率的负数除以 3(''n''&nbsp;+&nbsp;2)。

这些球的半径是半径 <math>\epsilon</math> 的 ''n''-1 维球面，它们的面积满足下面等式：

: <math> \frac{\operatorname{Area}   (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}  
 (\partial B_\varepsilon(0)\subset  {\mathbb R}^n)}=
 1- \frac{S}{6n}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)\ .</math>

==二维==
在 2 维，数量曲率恰好是[[高斯曲率]]的 2 倍：
:<math>S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}\ ,</math>

这里 <math>\rho_1,\,\rho_2</math> 是曲面的[[主曲率|主曲率半径]]。譬如，半径为 ''r'' 球面的数量曲率等于
<math>2/r^2\,</math>。更一般的，半径 ''r'' 的 [[n维球面|n 维球面]]的数量曲率为<math>n(n-1)/r^2\,</math>。

2 维[[黎曼张量]]只有一个独立分量，可以简单地用数量曲率和度量面积形式表示出来。在任何坐标系下，我们有 
:<math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S[g_{11}g_{22}-(g_{12})^2]\ .</math>

==传统记法==
在使用张量指标记法的作者中，字母 ''R'' 通常表示三种不同的东西：
# [[黎曼曲率张量]]：<math>R_{ijk}^l</math> 或 <math>R_{abcd}</math>；
# [[里奇张量]]： <math>R_{ij}</math>；
# 数量曲率  ''R''。
这三个由它们的指标数目区分开：黎曼张量有四个指标，里奇张量有两个指标，里奇数量曲率没有指标。不使用指标记法的一般将 ''R'' 保留为全黎曼曲率张量的记号。

==另见==
* [[Basic introduction to the mathematics of curved spacetime]]

==参考文献==
*{{Citation
 | last =Petersen
 | first =Peter
 | year =2007
 | title =Riemannian Geometry
 | edition =2
 | publisher =北京：科学出版社
 | isbn =978-7-03-018294-4
}}
{{曲率}}

[[Category:黎曼几何]]
[[Category:曲率]]

[[de:Riemannscher Krümmungstensor#Krümmungsskalar]]