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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Willebrord Snell.jpg|thumb|150px|right|威理博·斯涅尔]]
[[File:Snell's law3.svg|lang=zh|thumb|150px|right|折射機制示意圖。]]
當[[光波]]從一種介質傳播到另一種具有不同[[折射率]]的介質時，會發生[[折射]]現象，其入射角與折射角之間的關係，可以用'''斯涅尔定律'''（{{lang|en|Snell's Law}}）來描述。斯涅尔定律是因[[荷兰]]物理学家[[威理博·斯涅尔]]而命名，又稱為「折射定律」。

在[[光學]]裏，[[光線跟蹤]]科技應用斯涅尔定律來計算入射角與折射角。在實驗光學與[[寶石學]]裏，這定律被應用來計算物質的[[折射率]]。對於具有[[負折射率]]的[[负折射率超材料]]（{{lang|en|metamaterial}}），這定律也成立，允許光波因負折射角而朝後折射。

斯涅尔定律表明，當光波從介質1傳播到介质2時，假若兩種介質的折射率不同，則会发生折射現像，其入射光和折射光都處於同一平面，稱為「入射平面」，并且与界面法线的夹角满足如下关系：
:<math>n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2</math>；

其中，<math>n_1</math>、<math>n_2</math>分别是两種介质的[[折射率]]，<math>\theta_1</math>和<math>\theta_2</math>分别是入射光、折射光与界面法线的夹角，分别叫做「入射角」、「折射角」。

這公式稱為「斯涅尔公式」。

斯涅尔定律可以從[[費馬原理]]推導出來，也可以從[[惠更斯原理]]、[[對稱#平移對稱|平移對稱性]]或[[馬克士威方程組]]推導出來。

==歷史==
[[Image:Ibn Sahl manuscript.jpg|thumb|left|200px|[[伊本·沙爾]]的手稿頁面複印，證明他确实發現了折射定律。]]
[[File:Ibn Sahl.svg|thumb|200px|left|按照沙爾作圖法詮釋，假設將長度比率<math>L_1/L_2</math>調整為與<math>n_1/n_2</math>相等，則入射線與折射線滿足斯涅尔定律。]]
最早有系統研究折射問題的學者是住在埃及的希臘人[[托勒密]]。西元二世紀，在著作《光學》（Optics）第五卷裏，他提出了他的折射實驗與定律。但是，他從做實驗得到的數據與結論並不準確，沒有給出[[正弦]]定律。在那時候，希臘學者不清楚正弦的概念。<ref name=Ivor2003>{{Citation
 | last =Grattan-Guinness
 | first =Ivor
 | title =Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences
 | publisher =JHU Press
 | volume =1
 | year =2003
 | edition =reprint, illustrated, annotated
 | pages =pp. 262-264
 | isbn =9780801873966|language=en
}}</ref><ref>{{Citation
 | last =Ptolemy
 | last2 =Smith
 | first2 =A. Mark
 | title =Ptolemy's Theory of Visual Perception: An English Translation of the Optics
 | publisher =American Philosophical Society
 | year =1996
 | pages =pp. 42ff
 | isbn =9780871698629|language=en
}}</ref>

為[[巴格達]]宮廷效勞的[[伊朗]]學者[[伊本·沙爾]]（Ibn Sahl）在984年的專著《論點火鏡子與透鏡》（On Burning Mirrors and Lenses）裏最先正確地描述折射定律。<ref name="Wolf">{{cite journal en|last=Wolf|first=K. B|title=Geometry and dynamics in refracting systems|journal=European Journal of Physics|volume=16|pages=14–20|year=1995|language=en}}</ref><ref name="Rashed1990">{{cite journal en| author=Rashed, Roshdi | title= A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lenses | journal= Isis| year= 1990| volume= 81| pages= 464–491 |doi=10.1086/355456 | issue=3|language=en}}</ref>他應用這定律來找出能夠將光聚焦而不會產生[[像差|幾何像差]]的[[透鏡]]的形狀。這種透鏡稱為[[非球面透鏡|曲折透鏡]]（anaclastic lens）。<ref>Sara Cerantola, "[http://revistas.ucm.es/fll/11303964/articulos/ANQE0404110057A.PDF La ley física de Ibn Sahl: estudio y traducción parcial de su Kitāb al-ḥarraqāt / The physics law of Ibn Sahl: Study and partial translation of his Kitāb al-ḥarraqāt] {{Wayback|url=http://revistas.ucm.es/fll/11303964/articulos/ANQE0404110057A.PDF |date=20120719200651 }}", ''Anaquel de Estudios Árabes'', 15 (2004): 57-95.</ref>很可惜的是其它學者並沒有注意到他的研究結果。之後很多年，人們都是從托勒密的錯誤理論開始研究折射。<ref name=Ivor2003/>

十一世紀初，阿拉伯學者[[海什木]]重做托勒密的實驗。他在著作《光學書》（Kitab al-Manazir, Book of Optics）裏，從做實驗得到的數據，粗略地總結出一些定則。他也沒有得到正弦定律。<ref>{{cite conference
 |first       = Pavlos
 |last        = Mihas
 |title       = Use of History in Developing ideas of refraction, lenses and rainbow
 |booktitle   = Eighth International History, Philosophy, Sociology & Science Teaching Conference
 |date        = July 18, 2005
 |location    = University of Leeds, England
 |url         = http://www.ihpst2005.leeds.ac.uk/papers/Mihas.pdf
 |language    = en
 |deadurl     = yes
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20080229172534/http://www.ihpst2005.leeds.ac.uk/papers/Mihas.pdf
 |archivedate = 2008年2月29日
}}</ref>

1602年，英國天文學者[[托馬斯·哈里奧特]]又重新發現了折射定律，可是，他並沒有發表他的結果，雖然他曾經在與[[约翰内斯·开普勒]]通信中提到這件事。<ref>{{cite journal en| author=Kwan, A., Dudley, J., and Lantz, E. | title=Who really discovered Snell's law? | journal=Physics World | year=2002 | volume=15 | issue=4 | pages=64 |url=http://physicsworldarchive.iop.org/index.cfm?action=summary&doc=15%2F4%2Fphwv15i4a44%40pwa-xml&qt= |language=en}}</ref>1621年，斯涅尔推導出一個數學等價形式，但是在他有生之年，學術界並不知道他的成就。[[勒内·笛卡儿]]在1637年專著《[[屈光學]]》（Dioptrics）裏，獨立地推導出這个定律，並且用他的理論解析了一系列光學問題。在這導引裏，他做了兩個假定，第一個假定是光的傳播速度與介質密度呈正比，第二個假定是光速度沿著界面方向的分量守恆。1662年，[[皮埃爾·德·費馬]]發表了另一種導引，從他的版本的[[最小作用量原理]]推導出同樣的定律，但是費馬的假定是光的傳播速度與介質密度呈反比。因此，他激烈地反駁笛卡儿的解答，認為笛卡爾的假定有誤。<ref name=Ivor2003/>1802年，[[托馬斯·楊]]做實驗發現，當光波從較低密度介質傳播到較高密度介质時，光波的波長會變短，他因此推論光波的傳播速度會降低。<ref name="Hecht2002"/>

根據歷史學者[[以撒·福雪斯]]（Issac Vossius）在著作《De natura lucis et proprietate》裏的敘述，笛卡儿先閱讀了斯涅尔的論文，然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張，難以置信；但是很多歷史學者都存疑曾經發生了這回事，費馬與惠更斯分別多次重複地譴責笛卡儿的行為缺失。儘管這不名譽事件所造成的風波，在法國，斯涅尔定律被稱為「笛卡儿定律」，或「斯涅尔-笛卡儿定律」

1678年，[[克里斯蒂安·惠更斯]]在著作《光論》（Traité de la Lumiere）裏表明，應用[[惠更斯原理]]，可以從光的波動性質，解釋或推導出斯涅尔定律。

==從费马原理推導==
{{multiple image
 | image1=Reflection for Semicircular Mirror upright.svg
 | alt1=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子[[反射]]，最終抵達點P。
 | width1=125
 | image2=Reflection for Mixed Shaped Mirror.svg
 | alt2=光線從點Q傳播至點O時，會被混合形狀鏡子反射，最終抵達點P。
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 | footer=光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子[[反射]]，最終抵達點P。
}}
[[費馬原理]]又稱為「最短時間原理」：[[光線]]傳播的路徑是需時最少的路徑<ref name=Dugas>{{Citation  | last = Dugas  | first = R.  | title = A History Of Mechanics
 | place = New York  | publisher = Dover Publications, Inc.  | year = 1988  | pages = pp. 255ff, 274, 345-346 | isbn = 0-486-65632-2|language=en}}</ref>。費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是[[拐點|拐值]]。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的[[反射]]路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的[[反射]]路徑的光程是拐值。<ref name="Hecht2002">{{citation|last =Hecht |first=Eugene|title=Optics|year=2002| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 4th| isbn=0-8053-8566-5 | language=en|pages=pp. 106-111, 127-129, 141}}</ref>

設定介質1、介質2的折射率分別為<math>n_1</math>、<math>n_2</math>，光線從介質1在點O傳播進入介質2，<math>\theta_1</math>為入射角，<math>\theta_2</math>為折射角。

[[File:Snellslaw diagram B.png|right|thumb|250px|光線從介質1的點Q，在點O傳播進入介質2，發生折射，最後抵達介質2的點P。]]
從費馬原理，可以推導出斯涅尔定律。光線在介質１與介質２的速度 <math>v_1</math> 和 <math>v_2</math> 分別為
:<math>v_1=c/n_1</math>、
:<math>v_2=c/n_2</math>；

其中，<math>c</math>是[[真空]]光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率<math>n_1</math>和<math>n_2</math>都大於<math>1</math>。

如右圖所示，從點Q到點P的傳播時間<math>T</math>為
:<math>T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}</math>。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間<math>T</math>對變數<math>x</math>的導數，設定其為零：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0</math>。

根据正弦函数定义，可以得到傳播速度與折射角的關係式：
:<math>\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0</math>。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅尔定律：
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>。

==從惠更斯原理推導==
[[File:Huygens_principle.gif|200px|left|thumb|按照惠更斯作圖法，平面波的直線傳播與球面波的徑向傳播。]]
[[惠更斯原理]]表明，[[波前]]的每一点可以視为产生球面次波的點波源，而以後任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假設傳播速度為<math>v</math>的波前，在時間<math>t=0</math>為平面，在這波前的每一點所產生的球面次波，在時間<math>t=\Delta t</math>已傳播了距離<math>v\Delta t</math>，由於正切這些球面次波的包络只能為平面，所以波前在時間<math>t+\Delta t</math>為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。

[[File:Wavefront Refraction.svg|thumb|200px|right|惠更斯的分析]]
如右圖所示，光波從介質1傳播進入介質2，其入射角、折射角分別為<math>\theta_1</math>、<math>\theta_2</math>，傳播速度分別為<math>v_1</math>、<math>v_2</math>，假設<math>v_1>v_2</math>。在時間<math>t_j</math>時，光波的波前會包含點<math>A_j</math>和點  <math>B_j</math>的位置，標記這時的波前為<math>\overline{A_j B_j}</math>。假設時間<math>t_j</math>與<math>t_{j+1}</math>之間的間隔為常數<math>\Delta t</math>，則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立：
:<math>A_0 A_1=B_0 B_1=B_1 B_2=B_2 B_3=v_1 \Delta t</math>、
:<math>A_1 A_2=A_2 A_3=A_3 A_4=B_3 B_4=v_2 \Delta t</math>。

從波前<math>\overline{A_1  B_1}</math>的每一個點波源發射出的球面次波，分別在介質1、介質2的傳播速度為<math>v_1</math>、<math>v_2</math>，<math>\overline{A_2  B_2}</math>必須正切這些球面次波。特別而言，在時間間隔<math>\Delta t</math>之後，波前<math>\overline{A_2  B_2}</math>在介質1的部分必須平行於相距<math>v_1 \Delta t</math>的波前<math>\overline{A_1  B_1}</math>，而波前<math>\overline{A_2  B_2}</math>在介質2的部分必須正切從點波源<math>A_1</math>發射出的半徑為<math>v_2 \Delta t</math>的球面次波。所以，在通過界面時，會出現彎曲的波前<math>\overline{A_2  B_2}</math>。

由於光波傳播的方向垂直於波前，所以在介質1、介質2裏，波前與界面之間的夾角分別等於入射角<math>\theta_1</math>、折射角<math>\theta_2</math>。直線段長度<math>B_1 B_3</math>與<math>A_1 A_3</math>之間的關係為
:<math>B_1 B_3/\sin\theta_1=A_1 B_3=A_1 A_3/\sin\theta_2</math>。

即
:<math>\frac{v_1}{\sin\theta_1}=\frac{v_2}{\sin\theta_2}</math>。

應用[[折射率]]<math>n</math>的定義式：
:<math>n\ \stackrel{def}{=}\ c/v</math>；

其中，<math>c</math>為[[光速]]。

總結，斯涅尔定律成立：
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>；

其中，<math>n_1</math>、<math>n_2</math>分別為介質1、介質2的折射率

==從平移對稱性推導 ==
假設對某系統整體做一個[[平移]]之後，這系統仍舊保持不變，則稱此系統具有[[平移#平移對稱|平移對稱性]]。從平移對稱性，可以推導出斯涅尔定律。<ref>
{{cite book
|author=John D Joannopoulos, Johnson SG, Winn JN & Meade RD
|title=Photonic Crystals: Molding the Flow of Light
|edition=2nd
|year= 2008
|publisher=Princeton University Press
|location=Princeton NJ
|isbn=978-0-691-12456-8
|pages= pp. 31
|url=http://ab-initio.mit.edu/book/
|language=en}}
</ref>這是建立於橫向均匀界面不能改變橫向[[動量]]的道理。由於[[波向量]]<math>\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)</math>與[[光子]]的動量成正比，假設介質1、介質2的界面垂直於z-方向，則在介質1、介質2裏的光波橫向傳播方向必須保持不變：
:<math>k_{x1} = k_{x2}</math>、
:<math>k_{y1} = k_{y2}</math>。

因此，
:<math>k_1 \sin\theta_1= k_2 \sin\theta_2</math>。

應用[[折射率]]<math>n</math>的定義式：
:<math>n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}</math>；

其中，<math>\omega</math>是光波的[[角頻率]]。

總結，斯涅尔定律成立：
:<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>。

微觀至原子尺寸，雖然沒有任何界面是完全均勻的，假若精細至光波波長尺寸，傳播區域可以估視為均勻，則平移對稱性仍不失為優良近似。

==從馬克士威方程組推導==
[[幾何光學]]的三條基礎定律為
*第一定律：入射波、反射波、折射波的波向量，與界面的法線共同包含於「入射平面」。
*第二定律：反射角等於入射角。這定律稱為「反射定律」。
*第三定律：<math>n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2</math>。這定律稱為「斯涅尔定律」，又稱為「折射定律」。

光波是[[電磁輻射]]，必須滿足[[馬克士威方程組]]與伴隨的[[邊界條件]]，其中一條邊界條件為，在邊界的臨近區域，電場平行於邊界的分量必須具有[[連續性]]。假設邊界為xy-平面，則在邊界，
:<math>E_{||,i}(x,y,0)+E_{||,r}(x,y,0)=E_{||,t}(x,y,0)</math>；

其中，<math>E_{||,i}</math>、<math>E_{||,r}</math>、<math>E_{||,t}</math>分別為在入射波、反射波、折射波（透射波）的電場平行於邊界的分量。

[[File:Snells law4.svg|thumb|150px|right|折射與反射機制示意圖。]]
假設入射波是頻率為<math>\omega</math>的單色平面波，則為了在任意時間滿足邊界條件，反射波、折射波的頻率必定為<math>\omega</math>。設定<math>E_{||,i}</math>、<math>E_{||,r}</math>、<math>E_{||,t}</math>的形式為
:<math>E_{||,i}=E_{||,i0}\ e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r} -\omega t}</math>、
:<math>E_{||,r}=E_{||,r0}\ e^{i\mathbf{k}_r\cdot\mathbf{r} -\omega t }</math>、
:<math>E_{||,t}=E_{||,t0}\ e^{i\mathbf{k}_t\cdot\mathbf{r} -\omega t }</math>；

其中，<math>\mathbf{k}_i</math>、<math>\mathbf{k}_r</math>、<math>\mathbf{k}_t</math>分別是入射波、反射波、折射波的波向量，<math>E_{||,i0}</math>、<math>E_{||,r0}</math>、<math>E_{||,t0}</math>分別是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是複值）。

為了在邊界任意位置<math>(x,y,0)</math>滿足邊界條件，[[相位]]變化必須一樣，必須設定
:<math>k_{ix}x+k_{iy}y=k_{rx}x+k_{ry}y=k_{tx}x+k_{ty}y</math>。

因此，
:<math>k_{ix}=k_{rx}=k_{tx}</math>、
:<math>k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}</math>。

不失一般性，假設<math>k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}=0</math>，則立刻可以推斷第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波向量，與界面的法線共同包含於入射平面。

從波向量x-分量的相等式，可以得到
:<math>k_{i}\sin\theta_i=k_{r}\sin\theta_r</math>。

而在同一介質裏，<math>k_{i}=k_{r}</math>。所以，第二定律成立，入射角<math>\theta_i</math>等於反射角<math>\theta_r</math>。

應用[[折射率]]<math>n</math>的定義式：
:<math>n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}</math>，

可以推斷第三定律成立：
:<math>n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t</math>；

其中，<math>n_t</math>、<math>\theta_t</math>分別是折射介質的折射率與折射角。

從入射波、反射波、折射波之間的[[相位]]關係，就可以推導出幾何光學的三條基礎定律。<ref name=Griffiths1998>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 386-389 |isbn=0-13-805326-X|language=en}}</ref>

==全內反射與臨界角==
[[File:Total Internal Reflection zh.svg|250px|right|thumb|假射光線從折射率較大的介質傳播進入折射率較小的介質，則入射角越大，光線的折射角也越大，直至當入射角大於臨界角時，由於折射角不能大於90°，這時會出現[[全內反射]]。]]
「光密介質」是[[折射率]]比較大的[[介質]]；「光疏介质」是折射率比较小的介质。假設光從折射率為<math>n_1</math>的光密介质傳播進入到折射率為<math>n_2</math>的光疏介质（例如，從玻璃傳播進入到空气中），而入射角<math>\theta_1</math>等於[[临界角]]<math>\theta_c</math>，則折射光线会沿折射界面的切线进行，即折射角<math>\theta_2=\pi/2</math>。此时会有<math>\sin\theta_2=1</math>。因此，可推得
: <math>\sin\theta_c=\sin\theta_1=n_2/n_1</math>。

假若入射角<math>\theta_1>\theta_c</math>，則無法找到對應的折射角<math>\theta_2</math>，不存在折射光，而只存在反射光，這現象稱為[[全内反射]]。[[临界角]]<math>\theta_c</math>是促使全内反射发生的最小入射角，它的值取决于两种介质的折射率的比值：
:<math>\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)</math>。

例如，水的折射率为1.33，空气的折射率近似等于1.00，临界角為
:<math>\theta_c=\sin^{-1}(1./1.33)=0.851</math>弧度，即48.8°（角度）。

==耗損性、吸收性、導電性介質==
在導電性介質裏，[[電容率]]與折射率都是複值，連帶的，折射角與波向數都是複值。這意味著，等實相位曲面的法線與界面的法線之間的角度等於折射角，而等波幅曲面是與界面相互平行的平面。由於這兩個曲面通常不會重疊在一起，這種波被稱為「非均勻波」。<ref>{{cite book|author1=Born|author2=Wolf
|title=Refraction and reflection at a metal surface|language=en|section=13.2}}</ref>折射波呈指數衰減，指數與折射率的複值部分成正比。<ref name="Hecht2002"/><ref>{{cite book
|last=Orfanidis
|first=S. J.|title=Electromagnetic Waves & Antennas
|section=7.9, Oblique Incidence on a Lossy Medium
|url=http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa/ch07.pdf|language=en}}</ref>

==各向異性物質==
對於[[各向同性]]或鏡面介質（例如玻璃），通常斯涅尔定律成立。對於[[各向異性]]介質，例如，[[方解石]]，[[雙折射]]會將折射線分為兩束射線，「尋常射線」與「非常射線」。尋常射線照樣遵守斯涅尔定律，而非常射線可能會與入射線不共面。

== 参阅 ==
*{{link-en|哈密頓光學|Hamiltonian optics}}（Hamiltonian optics）
*[[漸逝波|隱失波]]（Evanescent wave）

==參考文獻==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:S}}
{{光学}}
[[Category:物理定律]]
[[Category:几何光学]]