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'''斯蒂尔吉斯常数'''，记为<math>\gamma_k</math>，是出现在[[黎曼ζ函数]]的[[罗朗级数]]展开式中的数：

:<math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n</math>

斯蒂尔吉斯常数由以下的[[极限]]给出：

: <math> \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left(\left(\sum_{k = 1}^m  \frac{(\ln k)^n}{k}\right) - \frac{(\ln m)^{n+1}}{n+1}\right)} </math>

还有一种积分表示法，可由[[柯西积分公式]]推出：

:<math>\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.</math>

第零个常数<math>\gamma_0 = \gamma = 0.577...</math>称为[[欧拉-马歇罗尼常数]]。

最初的几个值为：

:::{| class="wikitable"
| ''n'' || &gamma;<sub>''n''</sub>
|-
| 0 || 0.5772156649015328606065120900824024310421
|-
| 1 || -0.072815845483676724860586
|-
| 2 || -0.0096903631928723184845303
|-
| 3 || 0.002053834420303345866160
|-
| 4 || 0.0023253700654673000574
|-
| 5 || 0.0007933238173010627017
|-
| 6 || -0.00023876934543019960986
|-
| 7 || -0.0005272895670577510
|-
| 8 || -0.00035212335380
|-
| 9 || -0.0000343947744
|-
| 10 || 0.000205332814909
|}

更一般地，我们可以定义出现在[[赫尔维茨ζ函数]]的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数<math>\gamma_k(q)</math>：

:<math>\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n</math>

在这里，''q''是一个[[复数]]，Re(''q'')>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广，我们有

:<math>\gamma_n(1)=\gamma_n\;</math>

==参见==
* [[欧拉-马歇罗尼常数]]
* [[黎曼ζ函数]]
* [[赫尔维茨ζ函数]]
* [[罗朗级数]]

==参考文献==
* {{mathworld|urlname=StieltjesConstants|title=斯蒂尔吉斯常数}} 
* Plouffe's inverter. [https://web.archive.org/web/20080409220136/http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/stieltjesgamma.txt 斯蒂尔吉斯常数，从0到78，精确到小数点后256位]

[[Category:特殊函数|S]]
[[Category:数学常数|S]]