查看“方块矩阵”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}
'''方塊矩陣'''，也称'''方阵'''、'''方矩陣'''或'''正方矩陣'''<ref>{{cite web |url=http://terms.naer.edu.tw/detail/122067/ |title=存档副本 |accessdate=2015年2月26日 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20150226084823/http://terms.naer.edu.tw/detail/122067/ |archivedate=2015年2月26日 |df= }}，[[國家教育研究院]]{{zh-tw}}</ref>，是行數及列數皆相同的[[矩陣]]。由<math>n \times n\,</math>矩陣組成的[[集合]]，連同[[矩陣加法]]和[[矩陣乘法]]，构成[[環 (代數)|環]]。除了<math>n=1\,</math>，此環並不是[[交换環]]。

M(''n'', '''R''')，即實方塊矩陣環，是個實[[幺环|有单位的]][[結合代數]]。M(''n'', '''C''')，即複方塊矩陣環，則是複結合代數。

'''[[單位矩陣]]'''<math>I_n\,</math>的對角線全是1而其他位置全是0，對所有<math>m \times n\,</math>矩陣<math>M\,</math>及<math>n \times k\,</math>矩陣<math>N\,</math>都有<math>MI_n=M\,</math>及<math>I_nN=N\,</math>。
例如，若<math>n=3\,</math>：
:<math>  I_3 =
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}\,</math>
單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的[[可逆元]]稱為'''[[可逆矩陣]]'''或'''非奇异方阵'''。<math>n \times n\,</math>矩陣<math>A\,</math>是可逆當且僅當存在矩陣<math>B\,</math>使得
:<math>AB=I_n(=BA)\,</math>。
此時<math>B\,</math>稱為<math>A\,</math>的'''[[逆矩陣]]'''，並記作<math> A^{-1}\,</math>。
所有<math>n\times n\,</math>矩陣在乘法上組成一個[[群]]（亦是一個[[李群]]），稱為[[一般線性群]]。

若數字<math>\lambda\,</math>和非零向量'''<math>\vec v\,</math>'''满足<math>A\vec v=\lambda\vec v\,</math>，則'''<math>\vec v\,</math>'''為<math>A\,</math>的一個[[特征向量]]，<math>\lambda\,</math>是其對應的[[特征值]]。數字<math>\lambda\,</math>為<math>A\,</math>的特征值當且僅當<math>A-\lambda I_n\,</math>可逆，又當且僅當<math>p_A(\lambda)=0\,</math>。這裏，<math>p_A(x)\,</math>是<math>A\,</math>的[[特征多項式]]。特征多項式是一個<math>n\,</math>次多項式，有<math>n\,</math>个复根（考虑重根），即<math>A\,</math>有<math>n\,</math>個特征值。

方塊矩陣<math>A\,</math>的[[行列式]]是其<math>n\,</math>個特征值的積，但亦可經由[[莱布尼茨公式]]計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

[[高斯-若爾當消元法]]非常重要，可以用来計算矩阵的[[行列式]]，[[秩_(线性代数)|秩]]，逆矩陣，并解決[[線性方程組]]。

[[矩陣的迹]]是<math>n \times n\,</math>矩陣的对角线元素之和，也是其<math>n\,</math>個特征值之和。

所有[[正交矩阵]]都是方块矩阵。

== 方块矩阵的等价命题 ==

[[线性代数]]中，下列关于方块矩阵''A''的命题是等价的（同时成立，或同时不成立）：

# ''A'' [[可逆矩阵|可逆]] ; ''A''的[[逆矩阵|反矩陣]]存在。
# [[行列式|det]](''A'')≠ 0.
# [[矩阵的秩|rank]](''A'')= n.
# Null(''A'') = 0.
# ''A''的[[特征值]]中没有0。
#对任意'''b'''属于'''F'''<sup>n</sup>，''A'''''x''' = '''b'''有唯一解。
# ''A'''''x''' = '''0'''只有平凡解。
# ''A''<sup>T</sup>''A''可逆。
# ''A''与单位矩阵行（列）等价。
# A的行向量或列向量張成'''F'''<sup>n</sup>.
# ''A''的零空间只有零向量。
# A的值域為'''F'''<sup>n</sup>.
# ''A''的行（列）向量构成'''F'''<sup>n</sup> ('''F'''<sup>n</sup>)中向量的线性无关集。

这裡，'''F'''为矩阵元素所属的[[域]]。通常，这个域为[[实数]]域或[[复数]]域。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

[[Category:矩陣|F]]