查看“方差”的源代码

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{{Otheruses|subject=變異數，又稱方差、變方|變異係數}}
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|G1 = Math
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'''方差'''（{{Lang-en|Variance}}），[[應用數學]]裡的專有名詞。在[[概率论]]和[[统计学]]中，一个[[随机变量]]的'''方差'''描述的是它的离散程度，也就是该变量离其[[期望值]]的距离。一个实随机变量的方差也称为它的[[矩 (数学)|二阶矩]]或二階中心動差，恰巧也是它的二阶累积量。這裡把複雜說白了，就是將各個誤差將之平方（而非取絕對值，使之肯定為正數），相加之後再除以總數，透過這樣的方式來算出各個數據分佈、零散（相對中心點）的程度。繼續延伸的話，方差的正[[平方根]]称为该随机变量的'''[[标准差]]'''（此為相對各個數據點間）。

== 定义 ==
设X为服从分布F的随机变量，
如果E[X]是随机变数''X''的[[期望值]]（平均數{{nowrap|1 = ''μ''=E[''X'']}}）<br/>
随机变量X或者分布F的'''方差'''為：
:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]</math>
这个定义涵盖了连续、离散、或兩者都有的隨機變數。方差亦可當作是隨機變數與自己本身的[[共變異數]](或[[协方差]])：
:<math>\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X)</math>
方差典型的標記有Var(''X''),　<math>\scriptstyle\sigma_X^2</math>,　或是<math>\sigma^{2}</math>，其表示式可展開成為：
:<math>\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] = \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 = \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2</math>
上述的表示式可記為"平方的期望減掉期望的平方"。

===離散隨機變數===
如果隨機變數''X''是具有機率質量函數的[[机率分布|離散機率分佈]]''x''<sub>1</sub> ↦ ''p''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> ↦ ''p''<sub>''n''</sub>，則：
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (p_i\cdot x_i^2) - \mu^2</math>
此處<math>\mu</math>是其期望值, i.e.
:<math>\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i </math> .
當''X''為有''N''個相等機率值的平均分佈：
:<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^{2} =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 
= \frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\mu^2  \right)
</math><br/>
''N''個相等機率值的方差亦可以點對點間的方變量表示為：
:<math> \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2 </math>

===连续型随机变量===
如果随机变量''X''是連續分布，並對應至概率密度函數''f''(''x'')，則其方差為：
:<math>\operatorname{Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\, =\int x^2 \, f(x) \, dx\, - \mu^2</math>
此處<math>\mu</math>是一期望值，
:<math>\mu = \int x \, f(x) \, dx\, </math>
且此處的積分為以''X''為範圍的x[[定積分]]（definite integral）<br/>
如果一個連續分佈不存在期望值，如[[柯西分佈]]（Cauchy distribution），也就不會有方差（不予定义）。

== 特性 ==
方差不會是負的，因為次方計算為正的或為零：
:<math>\operatorname{Var}(X)\ge 0</math>
一個常數隨機變數的方差為零，且當一個資料集的方差為零時，其內所有項目皆為相同數值：
:<math>P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{Var}(X)= 0</math>
方差不變於定位參數的變動。也就是說，如果一個常數被加至一個數列中的所有變數值，此數列的方差不會改變：
:<math>\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).</math>
如果所有數值被放大一個常數倍，方差會放大此常數的平方倍：
:<math>\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)</math>
兩個隨機變數合的方差為：
:<math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>
:<math>\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>
此數Cov(., .)代表[[共變異數]]。<br/>
<br/>
對於<math>N</math>個隨機變數<math>\{X_1,\dots,X_N\}</math>的總和：
:<math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)</math>

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个[[希尔伯特空间]]：
L<sup>2</sup>（Ω, dP），不过这裡的内积和长度跟协方差，标准差还是不大一样。
所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的
所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间，
并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是协方差。

== 一般化 ==
如果''X''是一个[[向量空间|向量]]其取值范围在實數空间''R''<sup>''n''</sup>，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把''X''称为[[随机向量]]。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(''X'' − μ)(''X'' − μ)<sup>T</sup>]，其中μ = E(''X'')，''X''<sup>T</sup>是''X''的转置。这个方差是一个非[[正定矩陣|负定]]的[[方块矩阵|方阵]]，通常称为[[协方差矩阵]]。

如果''X''是一个複數随机变量的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那么其方差定义则为E[(''X'' − μ)(''X'' − μ)<sup>*</sup>]，其中''X''<sup>*</sup>是''X''的[[共轭转置]]向量或稱為[[埃尔米特矩阵|埃尔米特向量]]。根据这个定义，[[變異數]]为实数。

== 历史 ==
「'''方差'''」（variance）这个名词率先由[[羅納德·費雪]]（{{lang-en|Ronald Fisher}}）在论文《''The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance''》<ref>[[羅納德·費雪|Ronald Fisher]]（1918）[http://digital.library.adelaide.edu.au/dspace/bitstream/2440/15097/1/9.pdf The correlation between relatives on the supposition of Mendelian Inheritance]</ref>中提出。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[标准差]]
* [[标准离差率]]

{{-}}
{{概率分布理论}}
{{统计学}}

{{Authority control}}
[[Category:统计学]]