查看“方根”的源代码

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[[File:Nuvola mimetypes kformula kfo.png|120px|右]]
在[[数学]]中，若一個數<math>b</math>為[[数]]<math>a</math>的'''<math>n</math>次方根'''，則<math>b^n=a</math>。当提及[[实数]]<math>a</math>的<math>n</math>次方根的时候，假定想要的是这个数的'''主<math>n</math>次方根'''，那么它就可以用'''[[根号]]'''（<math>\sqrt{\color{white} x}</math>）表示成<math>\sqrt[n]{a}</math>。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作<math>\sqrt[10]{1024}=2</math>。當<math>n=2</math>時，則<math>n</math>可以省略。定义实数<math>a</math>的主<math>n</math>次方根为<math>a</math>的<math>n</math>次方根，且具有与<math>a</math>相同的正负号的唯一实数<math>b</math>。如果<math>n</math>是[[偶数]]，那么[[负数]]将没有主<math>n</math>次方根。习惯上，将2次方根叫做[[平方根]]，将3次方根叫做[[立方根]]。

== 符号史 ==
{{Main|根号}}
最早的根号“√”源于字母「L」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有[[线括号]]（即[[被开方数]]上的横线），后来数学家[[笛卡尔]]给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将[[根指数]]写在[[根号]]的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而，形成了我们现在所熟悉的开方[[數學符號|运算符号]]<math>\sqrt{\color{white} x}</math>。

由于在[[计算机]]中的输入问题，我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

== 基本运算 ==
带有根号的运算由如下[[公式]]给出:

:<math>
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0
</math>

:<math>\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0</math>

:<math>
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},
</math>

这裡的''a''和''b''是[[正数]]。 

对于所有的[[零向量|非零]][[复数]]<math>a</math>，有''n''个不同的复数<math>b</math>使得<math>b^n=a</math>，所以符号<math>\sqrt[n]{a}</math>不能无歧义的使用（通常這樣寫是取<math>n</math>個值當中[[主幅角]]最小的）。''n''次[[单位根]]是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到[[幂]]形式，幂的规则仍适用（即使对[[分数]]幂），也就是

:<math>a^m a^n = a^{m+n}</math>

:<math>\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}</math>

:<math>\left(a^m\right)^n = a^{mn}</math>

例如:
:<math>\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}</math>

若要做[[加法]]或[[减法]]，应当注意下列概念是重要的。
:<math>\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}</math>

若已可以简化根式[[表达式]]，则加法和减法简单的是[[群]]的“同类项”问题。

例如
:<math>\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}</math>
:<math>=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}</math>
:<math>=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}</math>
:<math>=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}</math>

== 不尽根数 ==
经常简单的留着数的''n''次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互[[除法|除]]。

如下[[恒等式]]是操纵不尽根数的基本技术:

* <math>\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}</math>

* <math>\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}</math>

* <math>\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}</math>

* <math>\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}</math>

== 无穷级数 ==
方根可以[[群表示|表示]]为无穷级数:

:<math>\begin{align}
&(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\
&(|x|<1)
\end{align}</math>

== 找到所有的方根 ==
任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的[[算法]]找到。这个数应当首先被写为如下形式<math>ae^{i\varphi}</math>(参见[[欧拉公式]])。接着所有的''n''次方根给出为:
:<math>e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}</math>
对于<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，这裡的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示<math>a</math>的主<math>n</math>次方根。

=== 正实数 ===
所有<math>x^n=a</math>或<math>a</math>的<math>n</math>次方根，这裡的''<math>a</math>''是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

:<math>e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}</math>

对于<math>k=0,1,2,\ldots,n-1</math>，这裡的<math>\sqrt[n]{a}</math>表示''<math>a</math>''的主''<math>n</math>''次方根。

== 解多项式 ==
曾经[[猜想]][[多项式]]的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是[[阿贝尔-鲁菲尼定理]]断言了这不是普遍为真的。例如，方程
: <math>\ x^5=x+1</math>
的解不能用根号表达。

要解任何''n''次方程，参见[[根发现算法]]。

== 算法 ==
對於正數<math>A</math>，可以通過以下算法求得<math>\sqrt[n]{A}</math>的值：
# 猜一個<math>\sqrt[n]{A}</math>的近似值，將其作為初始值<math>x_0</math>
# 設 <math>x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>。記誤差為<math>\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]</math>，即<math>x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k</math>。
#重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即：<math>| \Delta x_k | < \epsilon</math>。

===從牛頓法導出===
求<math>\sqrt[n]{A}</math>之值，亦即求方程<math>x^n-A=0</math>的根。

設<math>f(x)=x^n-A</math>，其[[導函數]]即<math>f'(x)=nx^{n-1}</math>。

以[[牛頓法]]作迭代，便得

:<math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
:<math>= x_k - \frac{x_k^n - A}{n x_k^{n-1}}</math>
:<math>= x_k - \frac{x_k}{n}+\frac{A}{n x_k^{n-1}}</math>
:<math>= \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>

=== 從牛頓二項式定理導出 ===
設<math>x_k</math>為迭代值，<math>y</math>為誤差值。

令<math>A=(x_k-y)^n</math>（*），作[[二项式定理|牛頓二項式展開]]，取首兩項：<math>A\approx x_k^n-n x^{n-1}_k y</math>

調項得<math>y\approx \frac{x_k^n-A}{n x_k^{n-1}}=\frac1n \left(x_k - \frac{A}{x_k^{n-1}}\right)</math>

將以上結果代回（*），得遞歸公式<math>x_{k+1}=x_k-y=\frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]</math>

== 参见 ==
* [[增乘开平方法]]
* [[幂]]
* [[无理数]]
* [[分母有理化]]
* [[双重根号]]
* [[2的12次方根]]

== 外部链接 ==
* [http://4rdp.blogspot.com/2008/04/blog-post_9406.html 高階根號求解]。此法亦可求任意正實數指數值
* [http://tw.wrs.yahoo.com/_ylt=A3eg86wvOvhLV0kB09Fr1gt.;_ylu=X3oDMTByMHM4NXRxBHNlYwNzcgRwb3MDMwRjb2xvA3R3MQR2dGlkAw--/SIG=12d0b3rkb/EXP=1274645423/**http%3a//www.math.ccu.edu.tw/chinese/95sutdy/PDF/A1_cub.pdf 立方根與高次方根]{{Dead link|date=2018年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no }} 
* [https://web.archive.org/web/20100816045352/http://www.90house.cn/gaozhongshuxuejiaoan/977.html 指數-高中數學教案]
* [http://tech.sina.com.cn/d/2007-12-12/10121907975.shtml 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图)]

[[Category:初等代数|L]]