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設[[集]]<math>A \subseteq \mathbb{Z}</math>，<math>A(n) = |A \cap \{1, 2, \ldots , n \} |</math>，<math>A</math>中不大於<math>n</math>的元素的數目。'''施尼勒尔曼密度'''函數<math>\sigma : \mathcal{P}( \mathbb{Z}) \to [0,1]</math>，或<math>A</math>的施尼勒尔曼密度定義為：
: <math>\inf_n \frac{A_n}{n}</math>

其中inf表示[[最大下界]]。若使用<math>\lim_{n \to \infty} \frac{A(n)}{n}</math>（如[[自然密度]]），可能不存在極限，施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

== 性質 ==
* <math>0 \le \sigma A \le 1</math>
* <math>\forall n\ A(n) \ge n \sigma A</math>
* <math>\sigma A = 1 \leftrightarrow A = \N</math>
* <math>\forall k \ k \notin A \rightarrow \sigma A \le 1-1/k</math>.
: 特別地
::<math>1 \notin A \rightarrow \sigma A = 0</math>
::<math>2 \notin A \rightarrow \sigma A \le 1/2</math>
* <math>\sigma A=0 \rightarrow \forall \epsilon>0\ \exists n\ A(n) < \epsilon n</math>

== Mann定理 ==

設<math>\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}</math>，[[拉格朗日四平方和定理]]可以寫成<math> \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1</math>，其中<math>A\oplus B</math>表示<math>A</math>和<math>B</math>的[[和集]]。

顯然，<math>\sigma \mathfrak{G}^2 = 0</math>，另外也有<math>\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0</math>。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢？原來<math>\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6</math>。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0，但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。

施尼勒尔曼指出：

: <math>\sigma(A \oplus B) \ge \sigma A  + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B</math>

Mann證明了更強的條件：
: <math>\sigma(A \oplus B) \ge \min( \sigma A  + \sigma B , 1)</math>

[[Category:加性数论]]