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在[[数学]]的[[複分析]]中，'''施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射'''是[[複平面]]的变换，把上半平面[[共形映射|共形]]地映射到一個[[多边形]]。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在[[位势论]]和其它应用，包括[[极小曲面]]和[[流体力学]]中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自[[埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔]]和[[赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨]]。

== 定义 ==
考虑複平面上一個多边形。[[黎曼映射定理]]指出存在一个[[一一对应]][[解析映射]]''f''从上半平面
:<math> \{ \zeta \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\,\zeta > 0 \} </math>
到多边形的內部。函数''f''把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为<math>\alpha,\beta,\gamma, ...</math>，那么映射由下式给出：
:<math>
f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-a)^{1-(\alpha/\pi)}(w-b)^{1-(\beta/\pi)}(w-c)^{1-(\gamma/\pi)} \cdots} \,\mbox{d}w 
</math>，
其中<math>K</math>是[[常数]]，<math>a < b < c < ...</math>是<math>\zeta</math>平面的实轴上的点的值，对应<math>z</math>平面上的多边形的[[頂點 (幾何)|顶点]]。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当<math>\zeta</math>平面的[[无穷远点]]映射到<math>z</math>平面的多边形其中一[[頂點 (幾何)|顶点]]（习惯是内角为<math>\alpha</math>的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进<math>K</math>裡。

== 例子 ==

考虑<math>z</math>平面中的半无穷带。这可以视作[[頂點 (幾何)|顶点]]是<math>P=0</math>, <math>Q=\pi i</math>和<math>R</math>的[[三角形]]，当<math>R</math>趋向无穷大的极限情形。极限时有<math>\alpha=0</math>和<math>\beta=\gamma=\pi/2</math>。假设我们要找映射''f''，有''f''(−1) = ''Q''，''f''(1) = ''P''，和''f''(∞) = ''R''，那么''f''是

:<math> f(\zeta) = \int^\zeta 
  \frac{K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}} \,\mbox{d}w \, </math>。

计算积分得到

:<math> z = f(\zeta) = C + K \operatorname{arccosh}\,\zeta, </math>

其中<math>C</math>是个（複）积分常数。条件<math>f(-1) = Q</math>和<math>f(1) = P</math>给出<math>C=0</math>和<math>K=1</math>。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是<math> z = \operatorname{arccosh}\,\zeta</math>。下图描绘这个映射。

[[File:Schwarz-Christoffel transformation.png|frame|center|从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射]]

== 其它简单映射 ==
=== 三角形 ===
到内角为<math>\pi a</math>，<math>\pi b</math>和<math>\pi(1-a-b)</math>的[[三角形]]的映射是
:<math>z=f(\zeta)=\int^\zeta \frac{dw}{(w-1)^{1-a} (w+1)^{1-b}}</math>。

=== 正方形 ===
从上半平面到正方形的映射是
:<math>z=f(\zeta) = \int^\zeta \frac {\mbox{d}w}{\sqrt{w(w^2-1)}}
=\sqrt{2} \, F\left(\sqrt{\zeta+1};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
</math>，
其中<math>F\,</math>是第一类不完全[[椭圆积分]]。

=== 广义三角形 ===
[[超几何微分方程|施瓦茨三角形映射]]把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

== 参看 ==
* 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的[[施瓦茨导数]]。

== 参考 ==

* Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, ''Schwarz-Christoffel Mapping,'' Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

* Z. Nehari, ''Conformal Mapping'', (1952) McGraw-Hill, New York.

* Darren Crowdy，[http://www.ma.ic.ac.uk/~dgcrowdy/_publications/PubFiles/Paper-20.pdf]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.


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[[Category:共形映射]]