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{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[數學]]裏，給予一個定義於[[內積空間]]的[[函數]]，假若對於任意[[旋轉]]，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為'''旋轉不變性'''（rotational invariance），或'''旋轉對稱性'''（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數 <math>f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2</math> 的數值保持不變，因此，函數 <math>f(x,\,y,\,z)</math> 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。

在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的[[取向]]無關，則這系統具有旋轉不變性。根據[[諾特定理]]，假若物理系統的[[作用量]]具有旋轉不變性，則[[角動量守恆]]。

根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性<ref>{{Citation|last =古斯|first=阿蘭|author-link=阿兰·古斯|title=The Inflationary Universe| publisher=Basic Books|year=1998|pages=pp.340|isbn=978-0201328400}}</ref>。

==球對稱位勢範例==
===哈密頓算符的旋轉不變性===
假設一個量子系統的位勢為[[球對稱位勢]] <math>V(r)</math> ，其哈密頓算符 <math>H</math> 可以表示為
:<math>H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)</math> ；

其中，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]，<math>m</math> 是質量，<math>r</math> 是徑向距離。

現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 <math>\theta</math> 角弧，則新直角坐標 <math>\mathbf{r}'=(x',\,y',\,z')</math> 與舊直角坐標的關係式為
:<math>x'=x\cos\theta - y\sin\theta</math> 、
:<math>y'=x\sin\theta+y\cos\theta</math> 、
:<math>z'=z</math> 。

偏導數為
:<math>\frac{\partial}{\partial x'}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、
:<math>\frac{\partial}{\partial y'}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial x} +\cos\theta\frac{\partial}{\partial y}</math> 、
:<math>\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z}</math> 。

那麼，導數項目具有旋轉不變性：
:<math>\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2</math> 。

由於徑向距離具有旋轉不變性：
:<math>r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r</math> ，

旋轉之後，新的哈密頓算符 <math>H'</math> 是
:<math>H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H</math> 。

所以，[[球對稱位勢]]量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。

===角動量守恆===
假設一個量子系統的位勢為[[球對稱位勢]] <math>V(r)</math> ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 <math>R</math> 為一個對於 z-軸的[[斜對稱矩陣#无穷小旋转|無窮小旋轉]] <math>\delta\theta</math> 。則[[正弦函數]]與[[餘弦函數]]可以分別近似為
:<math>\sin\delta\theta\approx\delta\theta</math> 、
:<math>\cos\delta\theta\approx 1</math> 。

新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為
:<math>x'\approx x - y\delta\theta</math> 、
:<math>y'\approx x\delta\theta+y</math> 、
:<math>z'=z</math> 。

將 <math>R</math> 作用於波函數 <math>\psi(x,\,y,\,z)</math> ，
:<math>R\psi(x,\,y,\,z)=\psi(x',\,y',\,z')\approx \psi(x,\,y,\,z)+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z \psi(x,\,y,\,z) </math> ；

其中，<math>L_z</math> 是角動量的 z-分量，<math>L_z=xp_y - yp_x= - i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)</math> 。

所以，旋轉算符 <math>R</math> 可以表達為
:<math>R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z</math> 。

假設 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 是哈密頓算符的能級[[本徵態]]，則
:<math>H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})</math> 。

由於 <math>\mathbf{r}</math> 只是一個虛設變數，
:<math>H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。

在做一個微小旋轉之後，
:<math>RH\psi_E(\mathbf{r})=RE\psi_E(\mathbf{r})=ER\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 、
:<math>HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}')</math> 。 

所以，<math>(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0</math> 。哈密頓算符的能級本徵態 <math>\psi_E(\mathbf{r})</math> 形成一組[[完備集]] ({{lang|en|complete set}})，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是
:<math>[R,\,H]=0</math> 。

因此，
:<math>[L_z,\,H]=0</math> 。

根據[[埃倫費斯特定理]]，<math>L_z</math> 的[[期望值]]對於時間的導數是
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [L_z,\,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。

所以，
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=\left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle </math> 。

由於 <math>L_z</math> 顯性地不含時間，
:<math>\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=0</math> 。

總結，<math>\langle L_z \rangle</math> 不含時間，<math>L_z </math> 是個[[運動常數]]。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。

==參閱==
*[[各向同性]]
*[[軸對稱]] 
*[[明顯對稱性破缺]] 
*[[馬克士威定理]] ({{lang|en|Maxwell's theorem}})

==參考文獻==
<references />
*{{cite book | author=Gasiorowics, Stephen|title=Quantum Physics (3rd ed.) | publisher=Wiley|year=2003 |isbn=978-0471057000}}
*Stenger, Victor J. (2000). ''Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes''. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。

[[Category:守恆定律|X]]