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[[File:Surface of revolution illustration.png|thumb|曲线''x''=2+cos&nbsp;''z''的一部分绕着''z''轴旋转。]]

'''旋转曲面'''是一个平面[[曲线]]绕着一条[[直线]]（旋转轴）旋转所得到的曲面。 

例子包括[[球面]]，由[[圆]]绕着其直径旋转而成，以及[[环面]]，由圆绕着外面的一条直线旋转而成。

==面积==

如果曲线由[[参数方程]]<math>x(t)</math>、<math>y(t)</math>给出，其中<math>a<t<b</math>，且旋转轴是<math>y</math>轴，则旋转曲面<math>A</math>的面积由以下的[[积分]]给出：

:<math> A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, </math>

条件是<math>x(t)</math>非负。这个公式与[[古尔丁定理]]是等价的。

:<math>\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 </math>

来自[[勾股定理]]，表示曲线的一小段弧，像[[弧长]]的公式那样。<math>2\pi x(t)</math>是这一小段的（重心的）路径。

如果曲线的方程是''y'' = ''f''(''x'')，''a'' &le; ''x'' &le; ''b''，则积分变为：

:<math>A=2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx</math>（绕着''x''轴旋转），

:<math>A=2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy</math>（绕着''y''轴旋转）。

这可以由以上的公式推出。

例如，单位半径的[[球面]]由曲线''x''(''t'') = sin(''t'')，''y''(''t'') = cos(''t'')旋转而得，其中<math>0<t<\pi</math>。所以，它的面积为：

:<math>A = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\left(\cos(t)\right)^2 + \left(\sin(t)\right)^2} \, dt = 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt = 4\pi. </math>

对于半径为''r''的圆<math>y(x) = \sqrt{r^2 - x^2}</math>绕着''x''轴旋转所得的曲面，

:<math>A = 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx</math>
:<math>= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx</math>
:<math>= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx</math>
:<math>= 4 \pi r^2\,</math>
 
==参见==
* [[旋转体]]

==参考文献==
*Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 931-937, 1985. 
*Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 42, 1980. 
*Gray, A. "Surfaces of Revolution." Ch. 20 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 457-480, 1997. 
*Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. "The Cylinder, the Cone, the Conic Sections, and Their Surfaces of Revolution." §2 in Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 7-11, 1999. 
*Isenberg, C. The Science of Soap Films and Soap Bubbles. New York: Dover, pp. 79-80 and Appendix III, 1992. 

[[Category:积分学]]
[[Category:曲面]]