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[[Image:Astroid.svg|240px|thumb|right|星形线]]
[[Image:HypotrochoidOn4.gif|500px|thumb|繪製星形线]]

'''星形线'''（{{lang|en|'''astroid'''}}）或稱為'''四尖瓣線'''（{{lang|en|'''tetracuspid'''}}），是一個有四個[[尖點]]的[[內擺線]]，也屬於[[超橢圓]]的一種。所有星形线皆可以依以下的方程式比例縮放而得<ref name="清华大学"/>：
:<math>x^{2/3} + y^{2/3} = 1. \,</math>

其英文名稱得名自希臘文的「星星」，星形线幾乎和[[橢圓]]的[[渐屈线]]相同。

若讓一個半徑為1/4的圓在一個半徑為1的圓內部，延著圓的圓周旋轉，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形线。星形线的[[參數方程]]為<ref name="清华大学"/>：

:<math>x=\cos^3\theta,\qquad y=\sin^3\theta.</math>

星形线是一個{{link-en|幾何虧格|geometric genus}}為0[[代數曲線]]的實數軌跡，其方程式如下：
:<math>(x^2+y^2-1)^3+27x^2y^2=0. \,</math>

因此星形线為六次曲線，在實數平面上有四個尖瓣的[[奇点 (几何)|奇点]]，分別是星形线的四個頂點，在無限遠處還有二個複數的尖瓣的奇點，四個重根的複數奇點，因此星形线共有十個奇点。

星形线的{{le|對偶曲線|Dual curve}}是{{link-en|十字架形曲線|cruciform curve}}，其方程式為<math>\textstyle x^2 y^2 = x^2 + y^2.</math>。星形線的[[渐屈线]]為另一個二倍大的渐屈线。

一個半徑為<math>a</math>之圓的[[內擺線]]構成的星形线，其面積為<math>\frac{3}{8} \pi a^2</math>，周長為6a。

==相關條目==
* {{link-en|三尖瓣線|Deltoid curve}}：一個有三個尖瓣的內擺線
* {{link-en|Stoner–Wohlfarth星形线|Stoner–Wohlfarth astroid}}：星形线在磁學中的應用。

==參考資料==
{{reflist|refs=
<ref name="清华大学">{{cite book|author=清华大学数学科学系 |title=微积分 |year=2003 |publisher=清华大学出版社有限公司 |location=北京  |isbn=7302067856 |url=http://books.google.com.tw/books?id=frF4kbHvF6YC&pg=PA48&dq=%22%E6%98%9F%E5%BD%A2%E7%B7%9A%22&hl=zh-TW&sa=X&ei=Dd7TUI_iH-KdmQXl-oC4DQ&redir_esc=y#v=onepage&q=%22%E6%98%9F%E5%BD%A2%E7%B7%9A%22&f=false | pages=47-48}}</ref>
}}
* {{Cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=4–5,34–35,173–174 }}
* {{Cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 10–11}}
* {{Cite book | author=R.C. Yates | title=A Handbook on Curves and Their Properties | location=Ann Arbor, MI | publisher=J. W. Edwards | pages=1 ff.|chapter=Astroid| year=1952 }}

== 外部連結 ==
{{commonscat|Astroid}}
* {{MathWorld | urlname=Astroid | title=Astroid}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Astroid.html "Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive]
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/astroid/astroid.shtml "Astroïde" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (in French)
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulettea.html Article on 2dcurves.com]
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee]
* [http://demonstrations.wolfram.com/BarsOfAnAstroid/ Bars of an Astroid] by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.

[[分類:六次曲線]]
[[Category:曲线]]

[[pl:Asteroida (geometria)]]