查看“曲线的挠率”的源代码

{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics}}
{{dablink|本文讨论于三维空间中曲线的挠率，关于挠率的其他用法，参见主条目[[挠率]]。}}

在初等三维[[曲线的微分几何]]中，一条[[曲线]]的'''挠率'''（torsion，或译'''扭率'''）度量了其扭曲的程度，即偏离平面曲线的程度。空间曲线的[[曲率]]和挠率在一起，与平面曲线的曲率类似。例如，他们都是[[弗莱纳公式|弗勒内标架]]的[[微分方程|微分方程组]]中的系数，由[[弗莱纳公式|弗勒内-塞雷公式]]给出。

== 定义 ==
设 ''C'' 是一条用[[弧长]]参数<math>s</math>给出的空间曲线，单位切向量为<math>\boldsymbol{t}</math>。如果在某一点 ''C'' 的[[曲率]]<math>\kappa</math>不等于 0，那么[[弗莱纳公式|主法向量]]和[[弗莱纳公式|次法向量]]分别是

<math> \mathbf{n}=\frac{\mathbf{t}'}{\kappa}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{t}\times\mathbf{n}.</math>

其中撇号代表对参数<math>s</math>的导数。空间曲线在一点处的切向量<math>\boldsymbol{t}</math>和主法向量<math>\boldsymbol{n}</math>所张成的平面就是密切平面，密切平面的法向量<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>是曲线的次法向量。如果曲线本身位于一个平面内，那么这个平面就是曲线的密切平面，相应的次法向量就是常向量。如果曲线不是平面曲线，则<math>\boldsymbol{b}</math>不是常向量。因为<math>\boldsymbol{b}</math>是单位向量，所以<math>\boldsymbol{b}'</math>垂直于<math>\boldsymbol{b}</math>。又因为<math>\boldsymbol{b}=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}</math>，所以<math>\boldsymbol{b}'=\boldsymbol{t}'\times\boldsymbol{n}+\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}'=\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n}'</math>，故<math>\boldsymbol{b}'</math>也垂直于<math>\boldsymbol{t}</math>。所以<math>\boldsymbol{b}'</math>与<math>\boldsymbol{n}</math>共线。

'''挠率'''<math>\tau</math>度量了次法向量在那一点旋转的速度。由方程

: <math> \mathbf{b}' = -\tau\mathbf{n}. </math>

得出

: <math> \tau = -\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}'. </math>

注：次法向量的导数垂直于次法向量和切向量，从而和主法向量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯，是这个学科历史发展的副产品。

'''挠率半径'''，通常记为 σ，定义为：

: <math>\sigma = \frac{1} {\tau} \; .</math>

几何解释：挠率<math>\tau(s)</math>度量了次法向量的方向的改变。挠率越大，次法向量关于切向量所在的轴的转动越快。

== 性质 ==
* 平面曲线的挠率处处为 0；反过来，如果一条正则曲线的挠率处处为 0，那么这条曲线在一个平面上。
*[[螺旋|螺旋线]]的曲率和挠率都是常数；反之，任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数，必然是螺旋线。挠率为正是右手螺旋，为负是左手螺旋。
*定倾曲线或称一般螺线（即切向量与一个固定方向交为定角的曲线）的挠率与曲率之比为常数；反之，如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数，那么曲线必是定倾曲线。

== 另一种描述 ==
设 '''r''' = '''r'''(''t'') 是空间曲线的[[參數方程|参数方程]]。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是，'''r'''(''t'')关于t三次可微，且向量<math> \mathbf{r'}(t), \mathbf{r''}(t) </math>[[線性無關|线性无关]]。

那么挠率可以由下面的公式表达出来：

:<math>\tau  = {{\det \left( {r',r'',r'''} \right)} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}} = {{\left( {r' \times r''} \right)\cdot r'''} \over {\left\| {r' \times r''} \right\|^2}}.</math>

这里撇号表示对 ''t'' 求导数，× 号为向量的[[叉积]]。对 ''r'' = (''x'', ''y'', ''z'')，上述公式的分量形式为

: <math> \tau = \frac{x'''(y'z''-y''z') + y'''(x''z'-x'z'') + z'''(x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^2 + (x''z'-x'z'')^2 + (x'y''-x''y')^2} \;.</math>

例子：圆螺旋线<math>\boldsymbol{r}(t)=(a\cos{t},a\sin{t},bt)\ (a>0)</math>的曲率、挠率都是常数，分别为

<math>\kappa=\frac a{a^2+b^2},\quad \tau=\frac b{a^2+b^2}</math>

== 参考文献 == 

Andrew Pressley, ''Elementary Differential Geometry'', Springer Undergraduate Mathematics Series, [[Springer-Verlag]]，2001 ISBN 1-85233-152-6

{{曲率}}

[[Category:微分几何|Q]]
[[Category:曲线]]
[[Category:曲率]]

[[ru:Дифференциальная геометрия кривых#Кручение]]