查看“有理数”的源代码

{{unreferenced|time=2019-07-27T21:53:00+00:00}}
{{Numbers}}
[[File:Number-systems.svg|thumb|實數（ℝ）包括有理數（ℚ），其中包括整數（ℤ），其中包括自然數（ℕ）]]

[[数学]]上，可以表达为两个整数比的数(<math>\frac{a}{b}</math>, <math>b\neq 0</math>)被定义为'''有理数'''，例如<math>\frac{3}{8}</math>，0.75(可被表达为<math>\frac{3}{4}</math>)。整数和分数统称为有理数。与有理数对应的是[[无理数]]，如<math>\sqrt{2}</math>无法用整数比表示。<br />
有理数与[[分數]]形式的区别，[[分數]]形式是一种表示比值的记法，如 [[分數|分數形式]]<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>是[[无理数]]。<br />
所有有理数的[[集合 (数学)|集合]]表示为'''Q'''，Q+,或<math>\mathbb{Q}</math>。定义如下：

:<math>\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}</math>

有理数的[[小数]]部分有限或为[[循环小數|循环]]。不是有理數的[[實數]]遂稱為[[無理數]]。

== 词源 ==
有理数在[[希臘文]]中称為{{lang|el|λογος}}，原意是「成比例的數」。[[英文]]取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名為rational number，直译成汉语即是「可比數」。对应地，無理數则为「不可比數」。

{{Fact|但並非中文翻譯不恰當。有理數這一概念最早源自西方《[[几何原本]]》，在中國[[明朝|明代]]，從西方傳入中國，而從中國傳入日本時，出現了錯誤。}}

明末數學家[[徐光启]]和學者[[利玛窦]]翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是[[拉丁文]]。他們將這個詞（“λογος”）譯為“理”，這個“理”指的是“比值”。日本在[[明治維新]]以前，歐美數學典籍的譯本多半采用中國[[文言文]]的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”。後來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數”和“無理數”。（文言文中理字没有比值的意思）

當有理數從日本傳回中國時又延續錯誤。[[清朝|清]]末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，以至現在中日兩國都用“有理數”和“無理數”的說法。

== 运算 ==

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。[[有理数的加法]]和[[有理数的乘法|乘法]]如下：

:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \, \ \ \ \ \ \ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}</math>

两个有理数<math>\frac{a}{b}</math>和<math>\frac{c}{d}</math>相等[[当且仅当]]<math>ad =  bc</math>

有理数中存在加法和乘法的逆：

:<math>- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\, \ \ \ \ \ \ \ \ a \neq 0</math>时，<math>\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} </math>

== 古埃及分数 ==
{{main|古埃及分数}}

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：
:<math>\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}</math>

对于给定的正有理数，存在[[无穷]]多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

== 形式构建 ==

数学上可以将有理数定义为建立在[[整数]]的[[有序对]]上<math>\left(a, b\right)</math>的[[等价类]]，这里<math>b, d</math>不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

: <math>\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)</math>
: <math>\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)</math>

为了使<math>\frac{2}{4} = \frac{1}{2}</math>，定义[[等价关系]]<math>\sim</math>如下：

: <math>\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \mbox{ iff } ad = bc</math>

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将'''Q'''定义为整数有序对关于等价关系~的[[商集]]：<math>\mathbb{Q} = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} - \{0\}) / \sim </math>。例如：两个对<math>(a,b)</math>和<math>(c,d)</math>是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何[[整数环]]，参见[[商域]]。）

'''Q'''上的[[全序关系]]可以定义为：

: <math>\left(a, b\right) \le \left(c, d\right)</math>当且仅当
:# <math>bd > 0 </math>并且<math>ad \le bc</math>
:# <math>bd < 0 </math>并且<math>ad \ge bc</math>

== 性质 ==

[[File:Diagonal argument.svg|thumb|left|170px|有理数集是可数的]]

集合<math>\mathbb{Q}</math>，以及上述的加法和乘法运算，构成[[域]]，即[[整数]]<math>\mathbb{Z}</math>的[[商域]]。

有理数是[[特征 (代数)|特征]]为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含<math>\mathbb{Q}</math>的一个拷贝（即存在一个从<math>\mathbb{Q}</math>到其中的[[同构]]映射）。

<math>\mathbb{Q}</math>的[[代数闭包]]，例如有理数多项式的根的域，是[[代数数|代数数域]]。

所有有理数的集合是[[可数]]的，亦即是說<math>\mathbb{Q}</math>的[[基数 (数学)|基數]]（或[[勢]]）與自然數集合<math>\mathbb{N}</math>相同，都是[[阿列夫數]]<math>\aleph_0</math>。因为所有实数的集合是不可数的，从[[勒贝格测度]]来看，可以认为[[几乎所有|绝大多数]]实数不是有理数。

有理数是个[[稠密]]的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。

== 实数 ==

有理数是[[实数]]的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為[[连分数#有限连分数|有限连分数]]。

依照它们的序列，有理数具有一个[[序拓扑]]。有理数是[[实数]]的（[[稠密]]）[[子集]]，因此它同时具有一个[[子空间拓扑]]。采用度量<math>d\left(x, y\right) = |x - y|</math>，有理数构成一个[[度量空间]]，这是<math>\mathbb{Q}</math>上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个[[拓扑域]]。有理数是非[[局部紧致空间]]的一个重要的实例。这个空间也是[[完全不连通空间|完全不连通]]的。有理数不构成[[完备的度量空间]]；[[实数]]是<math>\mathbb{Q}</math>的完备集。

== ''p''进数 ==

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将<math>\mathbb{Q}</math>转化到拓扑域：

设<math>p</math>是[[素数]]，对任何非零整数<math>a</math>设<math>|a|_p = p^{-n}</math>，这里<math>p^{n}</math>是[[整除]]<math>a</math>的<math>p</math>的最高次幂；

另外<math>|0|_p = 0</math>。对任何有理数<math>\frac{a}{b}</math>，设<math>\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}{|b|_p}</math>。

则<math>d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p</math>在<math>\mathbb{Q}</math>上定义了一个[[度量]]。

度量空间<math>\left(\mathbb{Q}, d_p\right)</math>不完备，它的完备集是[[p进数|''p''进数]]域<math>\mathbb{Q}_p</math>。

== 参见 ==
* [[浮点数]]
* [[尼云定理]]

[[Category:實數]]
[[Category:分數]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:有理数]]