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[[File:Bounded and unbounded functions.svg|right|thumb|有界函数（红色）和无界函数（蓝色）的示意图。可以看到，有界函数的图形保持在（虚线）水平带内，而无界函数的图形不保持在水平带内。]]
在[[数学]]中，如果在某个[[集合 (数学)|集合]]''X''上定义的具有[[实数]]或[[复数 (数学)|复数]]值的某个[[函数]]''f''的[[值域]]是[[有界集合]]，则函数''f''被称为'''有界的'''（或'''有界函数'''）。换句话说，存在实数''M''＞０，使得对于集合''X''中的所有''x''，都有<math>|f(x)|\le M</math>。有时，如果对于集合''X''中的所有''x''，都有<math>f(x)\le A</math>，则函数''f''称为'''上有界的'''，''A''就是它的一个上界；如果对于集合''X''中的所有''x''，都有<math>f(x)\ge B</math>，则函数称为'''下有界的'''，''B''就是它的一个下界。

一个特例是'''有界数列'''，其中''X''是所有[[自然数]]所组成的集合'''N'''。所以，一个[[数列]]''f'' = 
(
''a''<sub>0</sub>,  
''a''<sub>1</sub>,  
''a''<sub>2</sub>,  ... ) 
是有界的，如果存在一个数''M'' ＞0，使得对于所有的自然数''n''，都有|''a''<sub>''n''</sub>| ≤ ''M''。
==例子== 
*由''f''&nbsp;(''x'')=sin ''x''所定义的函数''f'':'''R''' → '''R'''是有界的。如果[[正弦]]函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 
*函数
:<math>f(x)=\frac{1}{x^2-1}</math>
（''x''不等于&minus;1或1）是无界的。当''x''越来越接近&minus;1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为<nowiki>[2, ∞).</nowiki>，则函数就是有界的。
*函数 
:<math>f(x)=\frac{1}{x^2+1}</math>
是有界的。 
*任何一个[[连续函数]]''f'':[0,1] → '''R'''都是有界的。 
*考虑这样一个函数：当''x''是[[有理数]]时，函数的值是0，而当''x''是[[无理数]]时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

== 参见 ==
* [[有界集合]]
* [[支撑集]]
* [[一致有界]]

[[Category:实分析]]
[[Category:复分析]]
[[Category:各类函数]]