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在[[數學]]裡，[[表示理論]]是以[[線性變換]]的群來分析一般抽象[[群]]的一種技術。相關的介紹請見[[群表示]]，此條目則討論含有有限個元素的群的表示理論。

==基本定義==
此條目中的所有線性變換都是有限維的，且除了有另外提起外，都假定為[[複數]]。''G''的表示是一個[[群同構]] &rho;:''G'' &rarr; GL(''n'','''C''')，由 ''G'' 至[[一般線性群]] GL(''n'','''C''') 的映射。因此，要選定一個表示，則只要將群內的每個元素配定一個方陣，其中方陣的相乘和群元素間的運算會是一樣的。

若矩陣是實數的，則稱 &rho; 是 ''G'' 的一個[[實表示]]。換句話說， &rho;(''G'') &sub; GL(''n'','''R''')。

==另一種公式化==
表示 &rho;: ''G'' &rarr; GL(''n'','''C''') 定義了 ''G'' 在向量空間 '''C'''<sup>n</sup> 上的[[群作用]]，而且此一作用也可以完全決定 &rho; 。因此，要選定一個表示，選定在表示的向量空間上的作用即已足夠。

換言之，群 ''G'' 在複向量空間 ''V'' 上的作用可以推導出[[群代數]] '''C'''[''G''] 在向量空間 ''V'' 上的左作用，反之亦然。因此，表示會等價於左 '''C'''[''G'']-模。

[[群代數]] '''C'''[''G'']是一個在複數上，以 ''G'' 作用的 |''G''| 維代數。（參見[[彼德-外爾定理]]中[[緊緻群]]的例子。）而實際上， '''C'''[''G'']是 ''G''&times;''G'' 的一個表示。更具體地來說，若 ''g''<sub>1</sub> 跟 ''g''<sub>2</sub> 是 ''G'' 的元素，且 ''h'' 是 '''C'''[''G''] 中相對應至 ''G'' 的 ''h'' 的一個元素，則

:(''g''<sub>1</sub>,''g''<sub>2</sub>)[''h'']=''g''<sub>1</sub> ''h'' ''g''<sub>2</sub><sup>-1</sup>。

'''C'''[''G''] 也可以以三種方式來做為 ''G'' 的表示：
*共軛： ''g''[''h''] = ''g'' ''h'' ''g''<sup>-1</sup>
*左作用： ''g''[''h''] = ''g'' ''h''（[[正則表示]]）
*右作用： ''g''[''h''] = ''h'' ''g''<sup>-1</sup>（同上）
這些都可以在 ''G''&times;''G'' 作用中被「找到」。

==例子== 

對許多的群而言，用矩陣來表示完全是一件很自然的事情。例如，一個[[二面體群]] ''D''<sub>4</sub> － 正方形的對稱，即可以兩個鏡射矩陣的表示來產生：

:<math> m = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} </math> 
:<math> n = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} </math>

這裡， ''m'' 是由 (''x'',''y'') 映射至 (&minus; ''x'',''y'') 的鏡射，而 ''n'' 則是由 (''x'',''y'') 映射至 (''y'',''x'') 的鏡射。這些矩陣的相乘一共可以產生構成此群的八個矩陣。如上所述，可以以矩陣來表示，或者也可以以在二維向量空間 (''x'',''y'') 上的作用來表示。

此一表示是「真實的」－亦即，在矩陣和群的元素之間是一對一對應的，因為不存在在群作用下不變的 (''x'',''y'') 的子空間。

==表示間的態射==


==子表示和不可約表示==

==由舊表示建構新表示==

==應用舒爾引理==

==特徵理論==

{{main|特徵理論}}

==歷史==

==另見==
*[[實表示]]
*[[對稱群表示理論Representation theory of the symmetric group]]
*[[舒爾正交關係]]
*[[德林-勒斯泰格理論]]

==參考文獻==
*{{cite book | author=Fulton, William; and Harris, Joe | title=Representation Theory: A First Course | location=New York | publisher=Springer | year=1991 | id=ISBN 978-0-387-97495-8}} The standard graduate level reference for representations of groups in general.

*{{cite book | author=James, Gordon; and Liebeck, Martin | title=Representations and Characters of Finite Groups | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | id=ISBN 978-0-521-44590-0}} A beautiful and readable introduction; designed for self study.

*{{cite book | author=Jean-Pierre, Serre | title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | id=ISBN 978-0-387-90190-9}} A very well-written introduction to stated topic: concise ''and'' extremely readable.


[[Category:群表示论|Q]]