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朗道-利夫希兹方程
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{{TA |G1=Math |G2=物理 }} 在物理學上,'''朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程'''(Landau–Lifshitz–Gilbert),是以[[列夫·達維多維奇·朗道]]、[[叶夫根尼·利夫希茨]]和T·L·吉爾伯特命名的物理方程,以差分方程為基礎闡述一個[[進動]][[磁性]]粒子的[[固態物理學|自發磁化]]。由T·L·吉爾伯特修改[[列夫·達維多維奇·朗道]]、[[叶夫根尼·利夫希茨]]的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受[[平均场]]作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。 朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程,该方程有单一孤子的严格解,对于多孤子情形,可以采取数值方法求解。該方程在在不同情形下模擬[[微磁學|微磁性磁場]]的[[鐵磁性]][[磁場]],尤其孤子於磁場的時閾行為。.<ref>{{cite web|last=Yang|first=Bo|title=Numerical Studies of Dynamical Micromagnetics|url=http://physics.ucsd.edu/~drf/pub/bo-thesis.ps.gz|accessdate=8 August 2011}}</ref> 附加方程用於闡述自旋极化电流对磁体的影响。<ref>http://wpage.unina.it/mdaquino/PhD_thesis/main/node47.html</ref> ==朗道-利夫希茲方程== [[File:Damped Magnetization Precession.jpg|thumb|upright|朗道-利夫希茲方程:紅色代表進動藍色代表阻尼。磁化(虚线螺旋)的轨迹的简化假设,即有效場'''H'''<sub>eff</sub>為恆定.]] 設一個[[鐵磁體]],[[磁化強度]]'''M'''可在其內部發生變化,但每一點擁有相等的[[磁飽和]]強度'''M'''<sub>S</sub>.朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程對磁化響應于轉矩的旋轉,引入:<ref name=Aharoni96>{{harvnb|Aharoni|1996}}</ref><ref>{{harvnb|Brown|1978}}</ref><ref>{{harvnb|Chikazumi|1997}}</ref> {{NumBlk|:|<math>\frac{d\mathbf{M}}{d t}= -\gamma \mathbf{M} \times \mathbf{H_\mathrm{eff}} - \lambda \mathbf{M} \times \left(\mathbf{M} \times \mathbf{H_{\mathrm{eff}}}\right)</math>|{{EquationRef|1}}}} 其中,{{math|''γ''}} 是孤子[[旋磁比]],{{math|''λ''}}是現象阻尼參數,則: :<math>\lambda = \alpha\frac{\gamma}{M_\mathrm{s}},</math> 其中,{{math|''α''}}是一个无量纲常数,称为阻尼因子。有效場場'''H'''<sub>eff</sub>為外部場的一個組合時,退磁場(磁化磁場)的量子力學效應。解方程前提是包含用於退磁場的附加方程。<br /> 採用不可逆的統計力學法,可獨立推導出朗道-利夫希茲方程。<ref>T. Iwata, J. Magn. Magn. Mater. 31–34, 1013 (1983); T. Iwata, J. Magn. Magn. Mater. 59, 215 (1986); V.G. Baryakhtar, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 87, 1501 (1984); S. Barta (unpublished, 1999); W. M. Saslow, J. Appl. Phys. 105, 07D315 (2009).</ref> ==朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程== 1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項: {{NumBlk|:|<math>\frac{d \mathbf{M}}{d t}=-\gamma \left(\mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}} - \eta \mathbf{M}\times\frac{d \mathbf{M}}{d t}\right)</math>|{{EquationRef|2b}}}} 其中,{{math|''η''}} 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程: {{NumBlk|:|<math>\frac{d \mathbf{M}}{d t} = -\gamma' \mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}} - \lambda \mathbf{M} \times (\mathbf{M} \times \mathbf{H}_{\mathrm{eff}})</math>|{{EquationRef|2a}}}} 由此: :<math>\gamma' = \frac{\gamma}{1 + \gamma^2\eta^2M_s^2} \qquad \text{and} \qquad\lambda = \frac{\gamma^2\eta}{1 + \gamma^2\eta^2M_s^2}. </math> 此情形的朗道-利夫希茲方程中,進動期{{math|''γ'''}}依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時,阻尼較大。 ==方程形式== ===普通形式=== 该方程的基本思想就是,在规范场作用下,粒子的运动本身会产生电磁场,而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子 :<math>\dot {\vec m}(x,t)=\vec m\times \nabla^2 \vec m </math> ===协变形式=== 协变情况下,<math>D_t=\partial_t + iv\cdot \nabla</math>, 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。 :<math>D_t {\vec m}(x,t)=\vec m\times \nabla^2 \vec m </math> ==物理意义== 平均场引发的自我驱动往往具有自持效果,这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的[[孤子]]波。这就是磁性孤子。 ==参考文献== *Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756 {{reflist|2}} ==延伸閱讀== {{Refbegin}} *{{cite book |author=Amikam Aharoni |title=Introduction to the Theory of Ferromagnetism |publisher=[[牛津大學出版社|Clarendon Press]] |year=1996 |isbn=0-19-851791-2 |url=http://www.oup.com/us/catalog/general/subject/Physics/ElectricityMagnetism/?view=usa&ci=9780198508090 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110629022541/http://www.oup.com/us/catalog/general/subject/Physics/ElectricityMagnetism/?view=usa&ci=9780198508090 |archivedate=2011-06-29 }} *{{cite book |title = Micromagnetics |author= William Fuller Brown, Jr. |publisher = Robert E. Krieger Publishing Co. |year = 1978 |origyear = Originally published in 1963 |isbn = 0-88275-665-6 }} *{{cite book |last = Chikazumi |first = Sōshin |title = Physics of Ferromagnetism |publisher = [[牛津大學出版社|Clarendon Press]] |year = 1997 |isbn = 0-19-851776-9 |ref = harvnb }} *{{citation|first=T.L.|last= Gilbert|title=A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field|journal= Physical Review|volume= 100 |year=1955|page= 1243|postscript=.|doi=10.1103/PhysRev.100.1235|bibcode = 1955PhRv..100.1235. }} This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in {{citation|first=T. L.|last= Gilbert|journal = IEEE Trans. Mag. |volume=40|issue=6 |pages= 3443–3449 |year=2004 |doi=10.1109/TMAG.2004.836740|title=A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials|bibcode = 2004ITM....40.3443G }} *{{citation|authorlink1=Lev Landau|authorlink2=叶夫根尼·利夫希茨|first=L.D. |last=Landau|first2= E.M.|last2= Lifshitz|title= Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies|journal= Phys. Z. Sowietunion|volume= 8, 153 |year=1935}} *{{citation|title=The Landau-Lifshitz equation revisited |first=G V|last= Skrotskiĭ |year=1984 |journal=Sov. Phys. Usp.|volume= 27 |pages=977–979 |doi=10.1070/PU1984v027n12ABEH004101|issue=12|bibcode = 1984SvPhU..27..977S }} *{{citation|isbn= 978-981-277-875-8 |title=Landau-Lifshitz Equations |series=Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences |first=Boling |last=Guo |first2= Shijin |last2=Ding|year=2008 |publisher=World Scientific Publishing Company}} *{{citation |title=A Survey on the Numerics and Computations for the Landau-Lifshitz Equation of Micromagnetism |first=Ivan |last=Cimrak |year=2007 |journal=Archives of Comp. Meth. Eng. |volume=15 |pages=1–37 |doi=10.1007/BF03024947 |issue=3 |url=http://www.kst.fri.uniza.sk/~icimrak/publications/surveyLL.pdf }}{{Dead link|date=2018年7月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=no }} *{{citation|title=The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview |first=Lakshmanan |last= M |year=2010 |journal=Phil. Trans. R. Soc. A |volume= 369 |pages=1280-1300 |doi=10.1098/rsta.2010.0319 |issue= 1939| url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/369/1939/1280.full.pdf|arxiv = 1101.1005 |bibcode = 2011RSPTA.369.1280L }} {{Refend}} [[Category:粒子物理学]] [[Category:数学]]
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