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在[[数学]]中,'''本原元定理'''精确刻画了什么时候对于一个域扩张''E/F'',''E''可以表示为<math>F(\alpha)</math>的形式,即''E''可以由单个元素生成。 == 定理 == 一个[[有限扩张]]''E/F''有本原元,即存在<math>\alpha</math>使得<math>E=F(\alpha)</math>,当且仅当''E''和''F''之间只有有限个中间域。 == 证明 == 如果<math>F</math>是[[有限域]],由于<math>E/F</math>是[[有限扩张]],推得<math>E</math>也是有限域。但是由于有限域的乘法群是[[循环群]],任取这个乘法群的一个生成元,<math>E</math>可以由这个生成元生成。所以在<math>F</math>是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。 如果<math>F</math>是无限域,但是只有有限个中间域。 先证明一个引理:假设<math>E=F(\alpha,\beta)</math>并且<math>E</math>和<math>F</math>之间只有有限个中间域,那么存在一个<math>\gamma\in E</math>使得<math>E=F(\gamma)</math>。引理的证明如下:当<math>c</math>取遍<math>F</math>的时候,对于每一个<math>c</math>可以做一个中间域<math>F(\alpha+c\beta)</math>。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在<math>c_1,c_2\in F,c_1\neq c_2</math>使得<math>F(\alpha+c_1\beta)=F(\alpha+c_2\beta)</math>。由于<math>\alpha+c_1\beta,\alpha+c_2\beta</math>都在这个域里,推得<math>(c_1-c_2)\beta</math>也在这个域里。由于<math>c_1\neq c_2</math>,推得<math>\beta</math>在这个域里,于是<math>\alpha</math>也在这个域里,因此<math>E=F(\alpha,\beta)\subseteq F(\alpha+c_1\beta)\subseteq F(\alpha,\beta)</math>,于是<math>E=F(\alpha+c_1\beta)</math>。引理证毕。 由于有限扩张总是有限生成的,推得<math>E=F(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)</math>(对于<math>\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\in E</math>)。利用归纳法以及引理可以得出,如果<math>E/F</math>之间只有有限个中间域,那么<math>E</math>可以由单个元素生成。 而如果<math>E=F(\alpha)</math>,假设<math>f(x)=irr(\alpha,F,x)</math>是<math>\alpha</math>在<math>F</math>上的[[极小多项式]],<math>K</math>是任意一个中间域,<math>g_K(x)=irr(\alpha,K,x)</math>是<math>\alpha</math>在<math>K</math>上的极小多项式。显然<math>g_K(x)|f(x)</math>。由于域上的[[多项式环]]是[[唯一分解环]],<math>f(x)</math>只有有限个因子。而对于每一个<math>g_K(x)|f(x)</math>,如果<math>g_K(x)</math>写作<math>g_K(x)=\sum_{k=0}^n c_ix^i</math>,并令<math>K_0=F(c_1,c_2,...,c_n)</math>。显然<math>K_0</math>是<math>K</math>的一个子域,因此<math>g_K(x)</math>在<math>K_0</math>上依然是[[不可约多项式|不可约]]的。而同时<math>E=F(\alpha)=K(\alpha)=K_0(\alpha)</math>,因此可以得到<math>[E:K]=[E:K_0]=deg(g_K)=n</math>。这样立即推<math>K_0=K</math>,于是任何一个中间域<math>K</math>对应唯一的一个<math>f(x)</math>的因子<math>g_K</math>。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。 == 推论 == * 由于[[有限扩张|有限]][[可分扩张]]只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元 == 参见 == * [[可分扩张]] * [[有限扩张]] * [[极小多项式]] == 参考文献 == *{{cite book | author=Serge Lang| title=Algebra | publisher=Springer-Verlag | year=2002 | id=ISBN 978-0-387-95385-4}} [[Category:域论|G]] [[Category:抽象代数定理|B]]
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