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'''本质上确界'''和'''本质下确界'''的概念与[[上确界]]和[[下确界]]有关，但前者与[[测度论]]的关联性更大，其中通常要涉及不是处处都成立的命题（也就是对[[集合]]中''所有''元素都成立的命题），而是''[[几乎处处]]''，也就是说，除了在[[零测集|测度为零的集合]]以外。

设(''X'',&nbsp;&Sigma;,&nbsp;''&mu;'')为[[测度]]空间，并设''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;&rarr;&nbsp;'''R'''为定义在''X''上的实函数，它并不一定是[[可测函数|可测]]的。实数''a''称为''f''的''[[上确界]]''，如果对于''X''内的所有''x''，都有''f''(''x'')&nbsp;&le;&nbsp;''a''，也就是说，集合

:<math>\{x\in X: f(x)>a\}</math> 

是[[空集]]。而''a''称为''本质上确界''，如果集合

:<math>\{x\in X: f(x)>a\}</math> 

的测度为零，也就是说，对于''X''内的''几乎所有x''，都有''f''(''x'')&nbsp;&le;&nbsp;''a''。

更加正式地，''f''的'''本质上确界'''，ess&nbsp;sup&nbsp;''f''，定义为：

:<math> \mathrm{ess } \sup f=\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) > a\}) = 0\}\, </math> 

如果本质上确界的集合<math> \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) > a\}) = 0\} </math>不是空集，否则ess&nbsp;sup&nbsp;''f''&nbsp;=&nbsp;+&infin;。 

类似地，我们也可以定义'''本质下确界'''：

:<math> \mathrm{ess } \inf f=\sup \{b \in \mathbb{R}: \mu(\{x: f(x) < b\}) = 0\}\, </math> 

如果本质下确界的集合不是空集，否则为&minus;&infin;。 

==例子==

在实数轴上，考虑[[勒贝格测度]]和它对应的σ代数Σ。用以下公式定义''f''：

:<math> f(x)= \begin{cases} 5, & \mbox{if }  x=1  \\ 
                            -4,& \mbox{if }  x = -1 \\
                            2,& \mbox{ otherwise. }
 \end{cases} </math>

这个函数的上确界（最大值）是5，下确界（最小值）是−4。然而，函数只在集合{1}和{−1}内才取得这些值，它们的测度为零。在所有其它地方，函数的值为2。因此，函数的本质上确界和本质下确界都是2。

作为另外一个例子，考虑以下的函数：
:<math> f(x)= \begin{cases} x^3, & \mbox{if }  x\in \mathbb Q  \\ 
                            \arctan{x} ,& \mbox{if } x\in \mathbb R\backslash \mathbb Q \\
 \end{cases} </math>
其中'''Q'''表示[[有理数]]。这个函数既没有上界也没有下界，所以上确界和下确界分别是∞和−∞。但是，从勒贝格测度的角度来看，有理数集合的测度为零；因此，真正有关的是在这个集合的补集发生的事情，其中函数由arctan ''x''给出。于是，函数的本质上确界是π/2，本质下确界是−''&pi;''/2。

最后，考虑函数''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>对于所有的实数''x''。它的本质上确界是+&infin;，本质下确界是&minus;&infin;。

==性质==

* <math>\inf f \le \mathrm{ess }  \inf f \le \mathrm{ess } \sup f \le \sup f</math>

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[[Category:测度论]]