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'''朱世杰恒等式'''是[[组合数]]的一阶求和公式。

<math> \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1} </math>

==证明==
===递归方法===
: <math> \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} </math>
===组合方法===
从<math>n</math>元集<math>S=\{a_1,a_2,a_3,...,a_n\}</math>选<math>r</math>个元素，有<math>\binom nr</math>种方法。

必有<math>a_1</math>时，在<math>n-1</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素，排除<math>a_1</math>，必有<math>a_2</math>时，在<math>n-2</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素，排除<math>a_2</math>，如此类推，直到必有<math>a_{n-r+1}</math>时，在<math>r-1</math>个元素中选<math>r-1</math>个元素。

<math>\sum_{k=r}^n \binom {k-1}{r-1} =\binom nr</math><ref>{{cite journal|author=伍启期|year=1996|title=组合数列求和|journal=佛山科学技术学院学报(自然科学版)|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm}}</ref>

==应用==
'''朱世杰恒等式'''可应用于[[等幂求和]]问题。例如：

:<math>\sum_{i=1}^n i=\sum_{i=1}^n \binom i1=\binom {n+1}2</math>

:<math>\sum_{i=1}^n i(i+1)=2\sum_{i=1}^n \binom {i+1}2=2\binom {n+2}3</math><ref>{{cite journal|author=田达武|year=2009|title=朱世杰恒等式及其应用|journal=数学教学通讯|issue=36|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXUJ200936022.htm}}</ref>

==参考资料==
{{reflist}}

[[分类:组合数学]]