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在[[数学]]领域，特别是对于[[动力系统]]的研究中，'''极限集合'''（或称'''极限集'''、'''极限点集'''）是一个动力系统在[[时间]]趋于[[无限|无穷]]的时候的[[极限点]]的[[集合]]。极限集合有两种，分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合。在动力系统研究中，极限集合可以用来理解动力系统的长期性态。动力系统中的极限集合的种类包括有[[奇点]]，[[周期]][[轨线]]，[[极限环]]和[[吸引子]]。

一般情况下的极限集合可能随着奇异吸引子的出现而变得非常复杂，但是在[[维度|二维]]的动力系统中，[[庞加莱-本迪克松定理]]提供了一个极限集合的简洁的刻画：这时的动力系统的极限集合只可能是不动点或周期轨线。

==对于迭代函数的定义==
设 <math>X</math> 为一个[[度量空间]]，并令 <math>f:X\rightarrow X</math> 为一个[[连续函数]]。集合 <math>X</math> 中[[元素]] <math>x\in X</math> 关于 <math>f</math> 的<math>\omega</math>-极限集合是其经过[[函数]] <math>f</math> [[迭代函数|迭代]]后得到的[[序列]] <math>\{f^n(x)\}_{n\in \mathbb{N}}</math> 的所有[[极限点]]的集合，记作 <math>\omega(x,f)</math>。依此定义，某元素<math>y\in \omega(x,f)</math>[[当且仅当]]存在严格递增的[[自然数|自然]][[数列]] <math>\{n_k\}_{k\in \mathbb{N}}</math> 使得 当 <math>k\rightarrow\infty</math> 的时候 <math>f^{n_k}(x)\rightarrow y</math>。用纯数学语言也可以表示为：

:<math>\omega(x,f) = \bigcap_{n\in \mathbb{N}} \overline{\{f^k(x): k>n\}}</math>。

极限集合内的点称为'''[[回归点]]'''.

如果 <math>f</math> 是一个[[同胚|同胚映射]]（即一个本身和其[[反函数]]都连续的函数），那么还可以定义 集合 <math>X</math> 中[[元素]] <math>x\in X</math> 关于 <math>f</math> 的<math>\alpha</math>-极限集合：<math>\alpha(x,f)=\omega(x,f^{-1})</math>，这是将 <math>x</math> 关于 <math>f</math> 做反向迭代后得到的序列的极限点集合。

以上定义的两个集合都对函数 <math>f</math> 保持不变，并且如果集合 <math>X</math> 是[[紧空间|紧集]]的话，那么它们也是非空的紧集。

==对动力系统的定义==

给定一个实数值[[动力系统]] <math>(T, X, \varphi)</math>，其中<math>T</math>为时间，
<center><math>x(t) = X(t,x(t)) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)</math></center>
为描述方程，<math>\varphi: (t_0, t, x_0) \rightarrow \phi_{t_0}^{t}(x_0)</math> 是以点<math>x_0</math>初始值的解（由<math>(1)</math> 和 <math>x_0</math>所确定的[[流 (数学)|流]]）。

一个点 ''y'' 被称为 <math>x_0</math> （关于动力系统）的&omega;-'''[[极限点]]'''，如果存在实数序列 <math>(t_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 使得：
:<math>\lim_{n \to \infty} t_n = \infty</math>，并且
:<math>\lim_{n \to \infty} \varphi(t_0, t_n, x) = y </math>。
<math>x_0</math> （关于动力系统）的&omega;-'''极限集合'''是所有<math>x_0</math> 的&omega;-极限点的集合，记为<math>L_{\omega}(x_0)</math>。

类似地，称 ''y'' 为 <math>x_0</math> （关于动力系统）的&alpha;-'''极限点'''，存在实数序列 <math>(t_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> 使得：
:<math>\lim_{n \to \infty} t_n = -\infty</math>，且
:<math>\lim_{n \to \infty} \varphi(t_0, t_n, x) = y </math>。
<math>x_0</math> （关于动力系统）的&alpha;-'''极限集合'''是所有<math>x_0</math> 的&alpha;-极限点的集合，记为<math>L_{\alpha}(x_0)</math>。

对于一个非空集合 <math>Z</math>，类似地定义 <math>Z</math> 的&omega;-'''极限集合'''是 <math>Z</math> 里的所有元素的极限集合之[[并集]]，记为<math>L_{\omega}(Z)</math>。
:<math>L_{\omega}(Z) = \bigcup_{z \in Z} L_{\omega}(z)</math>。
同样可以定义 <math>Z</math> 的&alpha;-'''极限集合'''：
:<math>L_{\alpha}(Z) = \bigcup_{z \in Z} L_{\alpha}(z)</math>。

如果某点的&omega;-极限集合跟以此点为初始值的'''正'''半轨线（流）的[[交集]]为[[空集]]，则称相应的极限集合为一个'''[[极限环|ω-极限环]]''' 。同样地，如果某点&alpha;-极限集合跟以此点为初始值的'''负'''半轨线（流）的交集为空集，则称相应的极限集合为一个'''[[极限环|α-极限环]]'''。

==参见==
* [[Julia集]]
* [[稳定流形|稳定集]]
* [[极限环]]
* [[周期点]]
* [[非游荡集]]

==参考来源==
*Claude Viterbo, ''Équations différentielles et systèmes dynamiques'', Les Éditions de l'École Polytechnique,2008.
* Robert Devaney, Morris W. Hirsch, ''Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos'', Second Edition，2007 
*Emmanuel Hainry，[http://www.loria.fr/~hainry/papers/omega_hal.pdf ''Computing omega-limit Sets in Linear Dynamical Systems''].
*Fabio Celani, [http://www.dis.uniroma1.it/~celani/talks/bedlewo_slides_2.pdf ''Omega-limit Sets of Nonlinear Systems that are Semiglobally Practically Stabilized''], Washington University, St. Louis, USA

[[Category:动力系统]]