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{{微积分学}}
'''极限'''是现代[[数学]]特别是[[分析学]]中的基础概念之一。'''极限'''可以用来描述一个[[序列]]的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势。'''极限'''也可以描述[[函数]]的[[自变量]]接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。作为[[微积分]]和[[数学分析]]的其他分支最基本的概念之一，[[连续函数|连续]]和[[导数]]的概念都是通过极限来定义的。

“函数的极限”这个概念可以更一般地推广到[[网 (数学)|网]]中，而“序列的极限”则与[[范畴论]]中的[[极限 (范畴论)|极限和有向极限]]的概念密切相关。

==极限的一般概念==

===序列的极限===
{{Main|極限 (數列)}}
对于序列（sequence）<math>a_n = \tfrac{1}{n}</math>随着n的增大，<math>a_n</math>从0的右侧越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的极限（虽然这个结论是正确的，但是它仍需要证明）。

[[柯西]]（Cauchy）在19世纪给出了极限的严格定义：
设<math>\{ x_n \}, x_n \in \mathrm R,n=1,2,\ldots,x_0 \in \mathrm R</math>，对于任意的正实数<math>\epsilon</math>，存在自然数<math>\mathit{N}</math>，使得当<math>\mathit{n>N}</math>时，有<math>|x_n-x_0 | < \epsilon</math>，用符号来表示即
<math>\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \mathbb N,\forall n>N,|x_n-x_0 | < \epsilon</math>

则称数列<math>\{ x_n \}</math>收敛于<math>x_0</math>，记作<math>\lim _{n \to \infty} x_n=x_0</math>。

直观地说，这就说明序列的元素（element）随着n的增大越来越靠近<math>x_0</math>，因为上面的[[绝对值]]也可以用来刻画[[距离]]。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说，不是所有的序列都有极限的。如果一个序列是有极限的，我们称这个数列[[極限 (數列)#收斂數列|收敛]]，否则称其为发散。可以证明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。

序列的极限和函数（function）的极限之间的关系是相当密切的。一方面，序列的极限可以直接理解为一个定义在[[自然数]]集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面，一个函数在<math>x</math>处的极限（如果存在），与序列<math>\{x_n \mid x_n = f(x + \tfrac{1}{n})\}</math>的极限是相同的。

===函数的极限===

{{Main|函數極限}}
假设<math>f(x)</math>是一个实函数，<math>C</math>是一个[[实数]]，那么

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

表示<math>f(x)</math>可以任意地靠近<math>L</math>，只要我们让<math>x</math>充分靠近<math>c</math>。此时，我们说当<math>x</math>趋向<math>c</math>时，函数<math>f(x)</math>的极限是<math>L</math>。值得特别指出的是，这个定义在<math>f(c) \ne L</math>的时候同样是成立的。事实上，即使<math>f(x)</math>在<math>c</math>点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。

以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：

考虑函数<math>f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}</math>在<math>x</math>趋向<math>2</math>的时候的性质，此时<math>f(x)</math>在<math>x = 2</math>这点是有定义的，因為<math>f(2) = 0.4</math>。

{| class="wikitable"
|f(1.9)||f(1.99)||f(1.999)||f(2)||f(2.001)||f(2.01)||f(2.1)
|-
|0.4121||0.4012||0.4001||<math>\Rightarrow</math> 0.4 <math>\Leftarrow</math>||0.3998||0.3988||0.3882
|}

当<math>x</math>趋向<math>2</math>的时候，函数值趋向<math>0.4</math>，因此我们有极限<math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>。在这种情况下，即函数在某一点的取值和当<math>x</math>趋向这一点的极限值相同的时候，我们称<math>f</math>在<math>x = c</math>这一点是[[连续函数|连续]]的。

当然，这是相当特殊的情况，考虑

:<math>g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{if }x=2 \end{matrix}\right.</math>

那么当<math>x</math>趋于<math>2</math>的时候，<math>g(x)</math>的极限与前面的<math>f(x)</math>相同，都是<math>0.4</math>。但是请注意<math>g(2) \ne 0.4</math>，这就是说，<math>g(x)</math>在<math>x = 2</math>是不连续。

或者考虑这样一个例子，使得<math>f(x)</math>在<math>x=c</math>时没有定义：

:<math> f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>

当<math>x</math>=<math>1</math>时，<math>f(x)</math>是没有定义的，但极限存在，即<math>\lim_{x \to 1} f(x) = 2</math>：

{| class="wikitable"
|f(0.9)||f(0.99)||f(0.999)||f(1.0)||f(1.001)||f(1.01)||f(1.1)
|-
|1.95||1.99||1.999||<math>\Rightarrow</math> Undefined <math>\Leftarrow</math>||2.001||2.010||2.10
|}

在<math>x \ne 1</math>的情况下，<math>x</math>可以任意靠近<math>1</math>，从而<math>f(x)</math>的极限为<math>2</math>。

==== 实变量实值函数在有限处的极限：形式定义 ====

形式上讲，极限可以这样定义：

命<math>f</math>是一个定义于包含<math>c</math>的开区间（或此开区间剔除<math>c</math>）上的实值函数，命<math>L</math>是一个实数，那么

:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>

表示对于任意的<math> \varepsilon\ >0</math>，都存在一个对应的<math> \delta\ >0</math>使得：当<math>x</math>满足<math>0<|x-c|< \delta\ </math>时总有<math>| f (x)-L|< \varepsilon\ </math>成立。

==== 实变量实值函数在无穷远处的极限 ====

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在[[无穷]]远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：<math>x</math>距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用<math>x</math>越来越大（如果讨论正无穷时）来替代。

例如考虑<math>f(x) = \frac{2x}{x + 1}</math>.

* <math>f(100) = 1.9802</math>
* <math>f(1000) = 1.9980</math>
* <math>f(10000) = 1.9998</math>

当<math>x</math>非常大的时候，<math>f(x)</math>的值会趋于<math>2</math>。事实上，<math>f(x)</math>与<math>2</math>之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的<math>x</math>就可以了。此时，我们称<math>f(x)</math>趋向于（正）无穷时的极限是<math>2</math>。可以写为

:<math> \lim_{x \to \infty} f(x) = 2</math>

形式上，我们可以这样定义：

:<math> \lim_{x \to \infty} f(x)=c </math>
类似地，我们也可以定义：
:<math>\lim_{x \to -\infty} f(x)=c</math>

如果考虑将<math>f</math>的[[定义域]]推广到[[扩展的实数轴]]，那么函数在无穷远的极限也可以看作在给定点的极限的特例。

== 常用性质 ==
*<math>\lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n)</math>，这里S是个[[点积]]算法。
*<math>\lim_{n \to c} b{f(n)} = b{\lim_{n \to c} f(n)}</math>，这里''b''是常量。

以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) + g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) - g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} [ f(n) \sdot g(n) ] = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)</math>
*<math>\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}</math>

== 拓扑网的极限 ==
{{main|网 (数学)}}

在引入[[网 (数学)|网]]的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何[[拓扑空间]]。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。

== 范畴论中的极限 ==
{{main|极限 (范畴论)}}<!--
Introduction needed -->

[[Category:拓扑学|J]]
[[Category:实分析|J]]
[[Category:极限|J]]

== 符号史 ==
极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。

在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“''x''趋于''a''”当时都记作“''x''=''a''”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。

英国近代数学家[[戈弗雷·哈罗德·哈代|哈代]]是第一个使用现代极限符号的人。
== 外部連結 ==
* {{MathWorld |title=Limit |urlname=Limit}}
* [http://www.mathwords.com/l/limit.htm Mathwords: Limit]

{{Authority control}}