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在'''數學'''裡的'''範疇論'''中，'''極限'''的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多[[泛性質]]也可從極限來理解。

極限分為'''極限'''與'''餘極限'''（又稱'''上極限'''），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
| 餘極限/上極限（colimit） || 正（向）極限（direct limit）
| 歸納極限（inductive limit）
|-----
| 極限（limit） || 逆（向）極限（inverse limit） || 投射極限/射影極限（projective limit）
|}

本條目用語取'''歸納極限'''與'''射影極限'''。

==定義==
一[[範疇 (數學)|範疇]] ''C'' 中的極限及上極限可用 ''C'' 中的圖示來定義。形式上，''C'' 中類型 ''J'' 的[[圖示 (範疇論)|圖示]]是指一個由 ''J'' 映射至 ''C'' 的[[函子]]：
:''F'' : ''J'' &rarr; ''C''.
範疇 ''J'' 稱之為「索引範疇」，圖示 ''F'' 可想做是以 ''J'' 索引 ''C'' 內的物件及態射。''J'' 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為[[小範疇]]或[[有限集合|有限範疇]]之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

=== 極限 ===
設 ''F'' : ''J'' → ''C'' 為一個在範疇 ''C'' 中類型 ''J'' 的圖示。一個對應於 ''F'' 的「[[錐體 (範疇論)|錐體]]」是指 ''C'' 中的一物件 ''N'' ，具有可以 ''J'' 內之物件 ''X'' 索引的態射族 ψ<sub>''X''</sub> : ''N'' → ''F''(''X'')，使得對每個 ''J'' 內的態射 ''f'' : ''X'' → ''Y''，均有 ''F''(''f'') o ψ<sub>''X''</sub> = ψ<sub>''Y''</sub>。

圖示 ''F'' : ''J'' → ''C'' 的'''極限'''是一個對應於 ''F'' 的錐體 (''L'', φ)，使得對所有其他對應於 ''F'' 之錐體 (''N'', ψ)，總存在一個「唯一的」態射 ''u'' : ''N'' → ''L''，使得對所有 ''J'' 中的 ''X''，φ<sub>''X''</sub> o ''u'' = ψ<sub>''X''</sub>。
[[File:Functor cone (extended).svg|center|A universal cone]]
可以說，錐體 (''N'', ψ) 能被唯一的因子 ''u'' 分解成錐體 (''L'', φ)。此一態射 ''u'' 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「[[錐體 (範疇論)|泛錐體]]」，因為其所具有之[[泛性質]]（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 ''L'' 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，''L'' 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 ''F'' 的[[錐體範疇]]內的[[始對象和終對象|終對象]]。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在[[同構]]下是唯一的。

=== 上極限 ===
極限及錐體的[[對偶 (範疇論)|對偶概念]]是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 ''F'' : ''J'' → ''C'' 的「[[錐體 (範疇論)|上錐體]]是指 ''C'' 中的一物件 ''N''，具有可以每個 ''J'' 中的物件 ''X'' 索引的態射族
:ψ<sub>''X''</sub> : ''F''(''X'') → ''N''
使得對每個 ''J'' 內的態射 ''f'' : ''X'' → ''Y''，均有 ψ<sub>''Y''</sub> o ''F''(''f'')= ψ<sub>''X''</sub>。

圖示 ''F'' : ''J'' → ''C'' 的'''上極限'''是 ''F'' 的上錐體 (''L'', <math>\phi</math>)，使得對所有其他對應於 ''F'' 的上錐體 (''N'', ψ)，總存在一個「唯一的」態射 ''u'' : ''L'' → ''N''，使得對所有 ''J'' 中的 ''X''，''u'' o <math>\phi</math><sub>''X''</sub> = ψ<sub>''X''</sub>。

[[File:Functor co-cone (extended).svg|center|A universal co-cone]]

上極限也稱為「[[錐體 (範疇論)|泛上錐體]]」，也可視為是在對應於 ''F'' 的[[錐體 (範疇論)|上錐體範疇]]內的[[始對象和終對象|始對象]]。

如同極限一般，若圖示 ''F'' 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

===歸納系統與射影系統===
以下固定一個範疇<math>\mathcal{C}</math>，並探討其中的極限。為避免[[集合]]的悖論，我們將固定一個[[宇宙 (範疇論)|宇宙]]<math>\mathcal{U}</math>，並假定<math>\mathcal{C}</math>是<math>\mathcal{U}</math>-範疇，即：對任意兩個對象<math>X, Y</math>，態射集<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y)</math>同構於<math>\mathcal{U}</math>裡的某個集合。<math>\mathbf{Set}</math>表所有<math>\mathcal{U}</math>裡的集合構成的範疇。

設<math>I</math>為對<math>\mathcal{U}</math>的一個[[小範疇]]，所謂'''歸納系統'''（或稱'''I-圖'''）係指一個函子<math>\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}</math>，'''射影系統'''則指一函子<math>\beta: I^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathcal{C}</math>。

形象地說，歸納系統不外是給定<math>\mathcal{C}</math>中一族對象<math>\{X_i : i \in I\}</math>，對每個態射<math>i \rightarrow j</math>都有<math>\mathcal{C}</math>中對應的態射<math>X_i \rightarrow X_j</math>，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向：<math>X_i \leftarrow X_j</math>。

固定一對象<math>X \in \mathcal{C}</math>，對任意歸納系統&alpha;或射影系統&beta;，可定義從<math>I^\mathrm{op}</math>到<math>\mathbf{Set}</math>的函子
:<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(\alpha, X): i \mapsto \mathrm{Hom}(\alpha(i), X)</math>
:<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X, \beta): i \mapsto \mathrm{Hom}(X, \beta(i))</math>

我們將遵循[[可表函子]]的哲學，從集合的射影極限出發。暫設<math>\mathcal{C} = \mathbf{Set}</math>，<math>\mathbf{Set}</math>上的歸納系統不外是<math>I</math>上的[[層_(數學)|預層]]。給定一個歸納系統&beta;，定義：

:<math>\varprojlim \beta := \{ (x_i) \in \prod_{i \in I} \beta(i) : \forall i,j \in I, s \in \mathrm{Hom}(i,j) \; \beta(s)(x_j) = x_i \} </math>
:（注意：若<math>I</math>是空範疇，對應的射影極限是[[單元素集合]]。）

可手工驗證下述自然同構：

:<math>\mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \varprojlim \beta) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \varprojlim \mathrm{Hom}_\mathbf{Set}(X, \beta)</math>

==若干例子==
===始對象與終對象===
令<math>I</math>為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

:<math>\forall X \in \mathcal{C},  |\mathrm{Hom}(X, \varprojlim \emptyset)| =  |\mathrm{Hom}(\varinjlim \emptyset, X)| = 1</math>

這不外就是<math>\mathcal{C}</math>裡的[[始對象]]與[[始對象|終對象]]。

===纖維積與纖維餘積===
令<math>I</math>為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族<math>\mathcal{C}</math>的對象<math>\{ X_i: i \in I \}</math>，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與[[積 (範疇論)|積]]。

令<math>I</math>為範疇<math>\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet</math>；設<math>\alpha: I \rightarrow \mathcal{C}</math>對應於<math>Y_1 \stackrel{f_1}{\longleftarrow} X \stackrel{f_2}{\longrightarrow} Y_2</math>。若其歸納極限存在，稱之<math>Y_1, Y_2</math>對<math>X</math>的[[纖維餘積]]，寫作<math>Y_1 \sqcup_X Y_2</math>。

對偶地看，對於<math>\beta: I^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}</math>，對應於<math>X_1 \stackrel{f_1}{\longrightarrow} Y \stackrel{f_2}{\longleftarrow} X_2</math>，若其射影極限存在，稱之<math>X_1, X_2</math>對<math>Y</math>的[[纖維積]]，寫作<math>X_1 \times_Y X_2</math>。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

===核與上核===
核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 <math>X_0 \overset{f}{\underset{g}{\rightrightarrows} } X_1</math> 的歸納或射影系統，此時的歸納極限<math>\mathrm{Coker}(f,g)</math>稱作上核，射影極限<math>\mathrm{Ker}(f,g)</math>稱作核。它們的泛性質圖解如下：
:[[File:DiagramKernelCokernel.png]]

在[[加法範疇]]中僅須考慮<math>g=0</math>的狀況，上述概念遂歸結為[[同調代數]]所探討的的核與餘核。

==性質==
===極限之交換===
設<math>I,J</math>為小範疇，<math>\alpha: I \times J \rightarrow \mathcal{C}</math>為歸納系統，則有自然同構
:<math>\varinjlim_{i,j} \alpha(i,j)  = \varinjlim_i \varinjlim_j \alpha(i,j) = \varinjlim_j \varinjlim_i \alpha(i,j)</math>
將箭頭反向，對射影系統<math>\beta: (I \times J)^\mathrm{op} = I^\mathrm{op} \times J^\mathrm{op} \rightarrow \mathcal{C}</math>亦有自然同構
:<math>\varprojlim_{i,j} \beta(i,j)  = \varprojlim_i \varprojlim_j \beta(i,j) = \varprojlim_j \varprojlim_i \beta(i,j)</math>

歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若<math>I</math>是[[濾通範疇]]，則<math>\varinjlim_I</math>與任意<math>\varprojlim_J</math>交換。

===完備性===
若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之'''完備範疇'''；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到'''上完備範疇'''的定義及其充要條件。

===正合函子===
{{further|正合函子}}
考慮一個函子<math>F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C'}</math>。
* 若<math>\mathcal{C}</math>裡存在任意的有限射影極限，且<math>F</math>與有限射影極限交換，則稱<math>F</math>為'''左正合'''。
* 若<math>\mathcal{C}</math>裡存在任意的有限歸納極限，且<math>F</math>與有限歸納極限交換，則稱<math>F</math>為'''右正合'''。
* 若上述條件同時被滿足，則稱<math>F</math>為'''正合'''。

在[[阿貝爾範疇]]中，上述定義回歸到[[同調代數]]中的定義。

根據極限的泛性質，<math>\mathrm{Hom}(-,-)</math>函子無論對哪個變數都是左正合的。

設<math>(F,G)</math>是一對伴隨函子。若<math>\mathcal{C}</math>存在任意有限歸納極限，則<math>F</math>右正合；若存在任意有限射影極限，<math>G</math>左正合。此法可建立許多函子的正合性。

==具體實例==
===集合論===
* 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇<math>I</math>及歸納系統<math>\alpha: I \rightarrow \mathbf{Set}</math>，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：
:<math>\varinjlim \alpha := \dfrac{\coprod_{i \in I} \alpha(i)}{(\exists i_1 \rightarrow \cdots \rightarrow i_n, x \in \alpha(i_1) \mapsto \cdots \mapsto y \in \alpha(i_n)) \Rightarrow (x \sim y)}</math>
* 兩個集合的纖維積與上積為
:<math>Y_1 \sqcup_X Y_2 = Y_1 \sqcup Y_2 / \{ f_1(y_1) = f_2(y_2) \Rightarrow x_1 \sim x_2~\}</math>
:<math>X_1 \times_Y X_2 = \{(x_1,x_2) \in X_1 \times X_2 : f(x_1)=f(x_2) \}</math>
* 設<math>f,g: X_0 \rightarrow X_1</math>，則
:<math>\mathrm{Ker}(f,g) = \{x_0 \in X_0 : f(x_0)=g(x_0) \}</math>，這是「等化」一詞的來由。
:<math>\mathrm{Coker}(f,g) = X_1 / \{\forall x_0 \in X_0, f(x_0) \sim g(x_0) \}</math>
* <math>\mathbf{Set}</math>是完備且上完備的。

===拓撲空間===
拓撲空間範疇<math>\mathbf{Top}</math>也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在[[泛函分析]]及[[同倫|同倫理論]]中特別有用。

一個拓撲空間<math>X</math>滿足[[豪斯多夫空間|豪斯多夫性質]]的充要條件是<math>p_1, p_2: X \times X \rightarrow X</math>的核<math>\Delta: X \rightarrow X \times X</math>是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到[[分離概形]]。

===概形===
概形範疇<math>\mathbf{Sch}</math>（或相對版本<math>\mathbf{Sch}_{/S}</math>）有終對象<math>\mathrm{Spec}\mathbb{Z}</math>（或<math>S</math>），並存在有限的纖維積。

===抽象代數===
[[阿貝爾群]]範疇<math>\mathbf{Ab}</math>或一個環<math>R</math>上的模範疇<math>\mathbf{Mod}_R</math>都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是[[p進數|p進整數]]：<math>\mathbb{Z}_p := \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>。

==文獻==
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3540279490

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20070402075309/http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Sta.pdf Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira] 

{{範疇論}}
[[Category:范畴中的极限]]