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'''柯西函數方程'''是以下的[[函數方程]]：
:<math> f(x+y)=f(x)+f(y) \ </math>
此方程的解被稱為[[加性函數]]。

==方程的解==
在[[有理數]]的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為<math> f(x) = cx \ </math>，其中<math>c</math>任意給定的有理數。

在[[實數]]中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 ''f'' 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：
* 若 ''f'' 是[[連續函數|連續]]的 (由[[柯西]]於1821年證明)。這個條件在1875年被[[讓·加斯東·達布|達布]]弱化，證明 ''f'' 只需要在一點連續。
* 若 ''f'' 在任一個區間上是[[單調函數|單調]]的
* 若 ''f'' 在任一個區間上是[[有界函數|有界]]的

另一方面，如果函數 ''f'' 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設[[選擇公理]]成立)。這在1905年由{{Link-en|喬治·哈梅爾|Georg Hamel}}使用[[基 (線性代數)|基]]的概念證明。

[[希爾伯特]]的第五個[[希爾伯特的23個問題|問題]]是這個方程的推廣。

存在實數<math>c \ </math>使得<math> f(cx) \ne cf(x) \ </math>的解稱為柯西─哈默方程（{{lang-en|Cauchy-Hamel function(s)}}）。在[[希爾伯特第三問題|希爾伯特的第三個問題]]中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（{{lang-en|Dehn-Hadwiger invariant(s)}}），其中就用到柯西-哈默方程。<ref>V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington</ref>

==在有理數集下的證明==
先設<math>y = 0 \ </math>，得到：
:<math> f(x+0) = f(x) + f(0) \ </math>
:<math> f(0) = 0 \ </math>

再設<math>y = -x \ </math>：
:<math> f(x-x) = f(x) + f(-x) \ </math>
:<math> f(-x) = -f(x) \ </math>

反覆設<math> y = x \ </math>、<math> y = 2x \ </math>、...、<math> y = x + x + \cdots + x </math>，可以得到
:<math> f(mx) = m f(x) \ </math>...(1)

設<math>x = \frac{y}{n}</math>並代入(1)式得到：
:<math> f \left( \frac{y}{n} \right) = \frac{1}{n} f(y) \ </math>
:或者<math> f \left( \frac{x}{n} \right) = \frac{1}{n} f(x) \ </math>...(2)

對於任意有理數<math>\frac{m}{n}</math>，設<math>y = \frac{m}{n}x </math>，根據(1)、(2)兩式可知：
:<math> f \left( \frac{m}{n}x \right) = \frac{m}{n} f(x) \ </math>

上式又可改寫為
:<math> f \left( \alpha q \right) = q f(\alpha) \qquad \forall q \in \mathbb{Q}, \alpha \in \mathbb{R} \ </math>

令<math>\alpha = 1 \ </math>就可以得到在有理數下的唯一解。

==其他解的性質==
以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當{{Link-en|病態 (pathological)|Pathological (mathematics)|病態}}的函數。我們將證明這個函數''f''所對應的圖形<math>y = f(x) \ </math>在<math>\mathbb{R}^2</math>中[[稠密集|稠密]]，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解''f''滿足<math>f(q) = q, \forall q \in \mathbb{Q}</math>，且能找到實數<math>\alpha \in \mathbb{R}</math>滿足<math>f(\alpha) \neq \alpha</math>，同時設<math>f(\alpha) = \alpha + \delta, \delta \neq 0</math>

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點<math>(x,y)</math>為圓心，其中滿足<math>x,y \in \mathbb{Q}, x \neq y</math>。令實數<math>r > 0</math>為半徑的<math>\frac{2}{\sqrt[]{5}}</math>倍，即半徑為<math>\frac{\sqrt[]{5}r}{2}</math>。

令<math>\beta = \frac{y - x}{\delta}</math>，存在一個有理數<math>b\neq 0</math>滿足：

:<math>\left|  \beta - b  \right| < \frac{r}{2 \left|\delta\right|}</math>

類似地，存在一個有理數<math>a</math>使得：

:<math>\left|  \alpha - a  \right| < \frac{r}{2\left|b\right|} </math>

設實數X,Y滿足：
:<math>X = x + b (\alpha - a) \ </math>
:<math>Y = f(X)  \ </math>

從原方程和以上的關係式可以得知：

:<math> Y = f(x + b (\alpha - a)) \ </math>
::<math> = f(x) + f(b \alpha) - f(ba) \ </math>
::<math> = x + b f(\alpha) - b f(a) \ </math>
::<math> = (y - \delta \beta) + b (\alpha + \delta) - b a \ </math>
::<math> = y + b (\alpha - a) - \delta (\beta - b) \ </math>

由以上關係式可知<math>\left| X-x \right| < \frac{r}{2} , \left| Y-y \right| < r </math>

∴<math>(X,Y) \ </math>在指定的小圓內，

於是<math>(X,Y) \ </math>在原本較大的圓內；

即在<math>\mathbb{R}^2</math>中任意給定的圓內皆包含<math>y=f(x) \ </math>圖形的一點；

即<math>y=f(x) \ </math>的圖形在<math>\mathbb{R}^2</math>中稠密，得證。

另一方法：如''f'' 不是线性函数，存在<math>U=(u,f(u)), V=(v,f(v))</math>在<math>\mathbb{R}^2</math>独立。任取<math>X \in\mathbb{R}^2</math>, <math>X=\alpha U + \beta V</math>, <math>\alpha</math>和<math>\beta</math>是有理数序列的极限, <math>X</math>是''f'' 的图形的聚点。

==其他解的形式與證明==
與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合<math>\alpha \mathbb{Q}</math>上也成立，其中<math>\alpha \in \mathbb{R} </math>（表示所有有理數乘上<math>\alpha \ </math>的積的集合，以下亦同）<br/>
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以[[選擇公理]]為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在<math>\mathbb{Q}</math>上存在一個<math>\mathbb{R}</math>的[[基 (線性代數)|基底]]，也就是這樣的集合：
<math>A \sub \mathbb{R}</math>，使得對於任何實數<math>x \ </math>，存在唯一的有限集合
<math>\left\{ a_1,\dots , a_n \right\} \sub A</math>
以及唯一對應的 <math>n</math> 個有理數<math>\left\{ \lambda_1, \dots , \lambda_n \right\}</math>，滿足：
:<math> x= \sum_{i=1}^n { \lambda_i a_i }</math>

設想函數方程在實數集的子集<math>x \mathbb{Q}, x \in A</math>上成立，即滿足<math>f(y) = g(x)\,y</math>，其中 <math>y</math> 是 <math>x</math> 的有理數倍。
運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數：
:<math> f(x) = \sum_{i=1}^n { g(a_i) \lambda_i a_i }</math>
對於所有<math>g: A\rightarrow \mathbb{R}</math>，以上<math>f(x) </math> 是函數方程的解。其中<math>f</math> 為線性的充要條件是 <math>g</math>是常數函數。

==參考資料==
{{Reflist}}

==外部連結==
* [http://www.math.rutgers.edu/~useminar/cauchy.pdf 羅格斯大學]網站上的解法{{en}}
* [http://cofault.com/2010/01/hunt-for-addictive-monster.html The Hunt for Addi(c)tive Monster]{{en}}

[[Category:算術函數]]