查看“柯西分布”的源代码

{{NoteTA|G1=物理學|G2=math}}
{{Infobox 機率分佈
|name       =柯西-洛伦兹分布
|type       =密度
|pdf_image  =[[File:Cauchy distribution pdf.png|325px|Probability density function for the Cauchy distribtion]]<br /><small>绿线是标准柯西分布</small>
|cdf_image  =[[File:Cauchy distribution cdf.png|325px|Cumulative distribution function for the Normal distribution]]<br /><small>与上图中的颜色对应</small>
|parameters =<math>x_0\!</math> [[位置参数]]（[[实数]]）<br /><math>\gamma > 0\!</math> [[尺度参数]]（实数）
|support    =<math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
|pdf        =<math>\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!</math>
|cdf        =<math>\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>
|mean       =（没有定义）
|median     =<math>x_0</math>
|mode       =<math>x_0</math>
|variance   =（没有定义）
|skewness   =（没有定义）
|kurtosis   =（没有定义）
|entropy    =<math>\ln(4\,\pi\,\gamma)\!</math>
|mgf        =（没有定义）
|char       =<math>\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!</math>
}}
'''柯西分布'''也叫作'''柯西-洛伦兹分布'''，它是以[[奥古斯丁·路易·柯西]]与[[亨德里克·洛伦兹]]名字命名的连续[[概率分布]]，其[[概率密度函数]]为

:<math> f(x; x_0,\gamma) = \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!</math>
:<math>= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right] \!</math>

其中''x''<sub>0</sub>是定义分布峰值位置的[[位置参数]]，''γ''是最大值一半处的一半宽度的[[尺度参数]]。

作为概率分布，通常叫作'''柯西分布'''，[[物理学家]]也将之称为'''洛伦兹分布'''或者'''Breit-Wigner分布'''。在[[物理学]]中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫[[共振]]的[[微分方程]]的解。在[[光谱学]]中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用''柯西分布''这个统计学术语。

''x''<sub>0</sub> = 0且''γ'' = 1的特例称为'''标准柯西分布'''，其概率密度函数为

:<math> f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!</math>

==特性==
[[File:Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot.gif|thumb|Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot]]
[[File:Imaginary plot of Lorentzian function.gif|thumb|Imaginary plot of Lorentzian function (Maple animation)]]
其累积分布函数为：
:<math>F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}</math>
柯西分布的逆累积分布函数为
:<math>F^{-1}(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan(\pi\,(p-1/2)). \!</math>

柯西分布的[[平均值]]、[[方差]]或者[[矩 (數學)|矩]]都没有定义，它的[[眾數 (數學)|众数]]与[[中值]]有定义都等于 x<sub>0</sub>。

取 ''X'' 表示柯西分布随机变量，柯西分布的[[特性函数]]表示为：
:<math>\phi_x(t; x_0,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,x_0\,t-\gamma\,|t|). \!</math>

如果 ''U'' 与 ''V'' 是[[期望值]]为 0、[[方差]]为 1 的两个独立[[正态分布]]随机变量的话，那么比值 ''U''/''V'' 为柯西分布。

標準柯西分佈是[[學生t-分佈]]自由度為1的特殊情況。

柯西分佈是[[穩定分佈]]：如果<math>X\sim\textrm{Stable}(1,0,\gamma,\mu)</math>，則<math>X\sim\textrm{Cauchy}(\mu,\gamma)</math>。

如果 ''X''<sub>1</sub>, &hellip;, ''X''<sub>''n''</sub> 是分别符合柯西分布的[[相互独立同分布]]随机变量，那么[[算术平均数]]（''X''<sub>1</sub> + &hellip; + ''X''<sub>''n''</sub>）/''n'' 有同样的柯西分布。为了证明这一点，我们来计算采样平均的[[特性函数]]：
:<math>\phi_{\overline{X}}(t) = \mathrm{E}\left(e^{i\,\overline{X}\,t}\right) \,\!</math>

其中，<math>\overline{X}</math> 是采样平均值。这个例子表明不能舍弃[[中心极限定理]]中的有限变量假设。

洛仑兹线性分布更适合于那种比较扁、宽的曲线
高斯线性分布则适合较高、较窄的曲线
当然，如果是比较居中的情况，两者都可以。
很多情况下，采用的是两者各占一定比例的做法。如洛伦茨占60%，高斯占40%.

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname=CauchyDistribution | title=Cauchy Distribution}}
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC294 GNU Scientific Library - Reference Manual]

{{概率分布|continuous-infinite}}
{{常见一元概率分布}}
[[Category:奥古斯丁·路易·柯西]]
[[Category:连续分布]]
[[Category:非有限方差概率分布]]
[[Category:幂定律]]
[[Category:稳定分布]]
[[Category:概率分布]]