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[[复分析]]中的'''柯西-黎曼微分方程'''（{{lang-en|Cauchy–Riemann equations}}）是提供了[[可微函数]]在[[开集]]中為[[全纯|全纯函数]]的[[充要条件]]的两个[[偏微分方程]]，以[[柯西]]和[[黎曼]]得名。这个方程组最初出现在[[达朗贝尔]]的著作中。后来[[欧拉]]将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

在一对实值函数''u''(''x'',''y'')和''v''(''x'',''y'')上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：

:(1a){{quad}} <math>{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y } </math>

和

:(1b){{quad}}<math>{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } . </math>

通常，''u''和''v''取为一个复函数的[[复数 (数学)|实部]]和[[复数 (数学)|虚部]]：''f''(''x'' + i''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y'')。假设''u''和''v''在[[开集]]'''C'''上[[连续可微]]，则当且仅当''u''和''v''的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)，''f''=''u''+i''v''是[[全纯]]的

== 注释和其他表述 ==
=== 共形映射 ===
柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：

:(2){{quad}}<math>{ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . </math>

在此形式中，方程对应于[[雅可比矩阵]]结构上有如下形式
:<math>
\begin{pmatrix}
  a &   -b  \\
  b & \;\; a  
\end{pmatrix},
</math>

其中<math> a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y</math>，<math> b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y</math>。该形式的矩阵是[[复数#复数的矩阵表示|复数的矩阵表示]]。几何上，这样的一个矩阵总是一个[[旋转]]和一个[[缩放]]的[[复合函数|复合]]，从而是保角（保持[[角度]]不变）的。因此，满足柯西-黎曼方程的有非零导数的函数保持平面曲线的角度不变。也即，柯西-黎曼方程是函数成为[[共形映射]]的条件。

=== [[複數 (數學)|複]]共轭的独立性 ===

方程组有时也被写作一个方程

:(3){{quad}}<math>\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0</math>

其中[[微分算子]]<math>\frac{\partial}{\partial\bar{z}}</math>定义为

:<math>\frac{\partial}{\partial\bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right).</math>

在此形式中，柯西-黎曼方程可以解释为''f''独立于变量<math>\bar{z}</math>。

=== [[複數 (數學)|複]]可微性 ===
柯西-黎曼方程是函数的[[複數 (數學)|複]][[导数|可微性]]（或称[[全纯函数|全纯性]]）的充要条件{{harv|Ahlfors|1953|loc=§1.2}}。精确的讲，设

:<math>f(z) = u(z) + i v(z)</math>

为复数''z''∈'''C'''的函数，则''f''在点''z''<sub>0</sub>的[[複數 (數學)|複]]导数定义为

:<math>\lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)</math>

如果该极限存在。

若该极限存在，则可以取''h''→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到

:<math>\lim_{\underset{h\in\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).</math>

而从虚轴逼近有

:<math>\lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} =
\lim_{\underset{ih\in i\mathbb{R}}{h\to 0}} -i\frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{h} =-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).</math>

''f''沿着两个轴的导数相同也即

:<math>\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=-i\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),</math>

这就是在点''z''<sub>0</sub>的柯西-黎曼方程（2）。

反过来，如果''f'':'''C''' → '''C'''作为映射到'''R'''<sup>2</sup>上的函数可微，则''f''[[複數 (數學)|複]]可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

=== 物理解释 ===
柯西-黎曼方程的一个解释{{harv|Pólya|Szegö|1978}}和[[複數 (數學)|複]]变理论无关。设''u''和''v''在'''R'''<sup>2</sup>的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑[[向量场]]

:<math>\bar{f} = \begin{bmatrix}u\\ -v\end{bmatrix}</math>

将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言<math>\bar{f}</math>[[无旋向量场|无旋]]：

:<math>\frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0.</math>

第一个柯西-黎曼方程（1a）断言该向量场[[无源向量场|无源]]（或者是零[[散度]]）：

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.</math>

分别根据[[格林定理]]和[[散度定理]]，这样的场是[[保守向量场|保守]]的，而且没有源，在整个开域上净流量为零。（这两点在[[柯西积分定理]]中作为实部和虚部结合起来。）在[[流体力学]]中，这样的一个场是一个[[势流]]{{harv|Chanson|2000}}。在[[静磁学]]中，这样的向量场是在不含电流的平面区域中的静[[磁场]]的模型。在[[静电学]]中，它们提供了不包含电荷的平面区域的电场模型。

=== 其它解释 ===
柯西-黎曼方程的其他表述有时出现在其他[[坐标系]]中。若（1a）和（1b）对于连续函数''u''和''v''成立，则如下方程也成立
:<math>\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial n},\quad \frac{\partial u}{\partial n} = -\frac{\partial u}{\partial s}</math>
对于任何坐标(''n''(''x'',''y''), ''s''(''x'',''y''))，如果它们满足<math>\scriptstyle (\nabla n, \nabla s)</math>[[正交]]并且[[定向(数学)|正定向]]。因此，特别的有，在极坐标''z''=''re''<sup>iθ</sup>下，方程组有如下形式

:<math>{ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\quad{ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.</math>

结合成一个''f''的方程，就有

:<math>{\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta}.</math>

== 非齐次方程 ==

非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数''u''(''x'',''y'')和''v''(''x'',''y'')的方程组成

:<math>\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} = \alpha(x,y)</math>

:<math>\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} = \beta(x,y)</math>

对于给定的定义在'''R'''<sup>2</sup>的开子集上的函数α(''x'',''y'')和β(''x'',''y'')。这些方程经常合并为一个方程。

:<math>\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = \phi(z,\bar{z})</math>

其中''f''=''u''+i''v''，φ=(α+iβ)/2。

若φ是[[连续可微|C<sup>k</sup>]]的，则在有界区域''D''中方程显式可解，只要φ在''D''的[[闭包]]上连续。实际上，按照[[柯西积分公式]]，

:<math>f(\zeta,\bar{\zeta}) = \frac{1}{2\pi i}\iint_D \phi(z,\bar{z})\frac{dz\wedge d\bar{z}}{z-\zeta}</math>

对于所有ζ∈''D''成立。

== 推广 ==
=== Goursat定理及其推广 ===
{{see also|柯西积分定理}}

设''f'' = ''u''+i''v''为复函数，作为函数''f'' : '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''<sup>2</sup>[[Fréchet导数|可微]]。则'''柯西积分定理'''（柯西－古尔萨定理）断言''f''在开[[複數 (數學)|複]]域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程{{harv|Rudin|1966|loc=Theorem 11.2}}。特别是，''f''不需假定为连续可微{{harv|Dieudonné|1969|loc=§9.10, Ex. 1}}。

柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；''f''不需可微，只要''f''=''u''+i''v''在Ω上连续且''f''关于''x''和''y''的[[偏导数]]在Ω中存在即可，这个结果称为[[Looman–Menchoff定理]]。

''f''在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，''f''(''z'') = ''z''<sup>5</sup>/|z|<sup>4</sup>）。只滿足柯西-黎曼方程也是不夠的，（需額外滿足连续性），下面的例子表明了这一点：{{harv|Looman|1923|p=107}}
:<math>f(z) = \begin{cases}\exp(-z^{-4})&\mathrm{if\ }z\not=0\\
0&\mathrm{if\ }z=0
\end{cases}</math>
它处处满足柯西-黎曼方程，但在''z''=0不连续。

但是，如果一个函数在开集上以[[弱导数|弱形式]]满足柯西-黎曼方程，则函数解析。更精确的讲{{harv|Gray|Morris|1978|loc=Theorem 9}}:
*若''f''(''z'')在开域Ω⊂'''C'''上局部可积，并以弱形式满足柯西-黎曼方程，则''f''和Ω上的一个解析函数[[几乎处处]]相等。

=== 多变量的情况 ===
在[[多複变量]]的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重[[过约束系统]]。通常的表述中，''[[d-bar算子]]'' 

:<math>\bar{\partial}</math>

将全纯函数消零。这是

:<math>{\partial f \over \partial \bar z} = 0</math>, 

的直接推广
其中

:<math>{\partial f \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} - {1 \over i}{\partial f \over \partial y}\right).</math>

== 参看 ==
*[[莫雷拉定理]]

== 参考 ==
*{{citation|first=Lars|last=Ahlfors|authorlink=Lars Ahlfors|title=Complex analysis|publisher=McGraw Hill|year=1953|publication-date=1979|edition=3rd|isbn=0-07-000657-1}}.
*{{citation|first=J.|last=d'Alembert|authorlink=Jean le Rond d'Alembert|title=Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer|publication-place=Paris|year=1752}}.
*{{citation|first=A.L.|last=Cauchy|authorlink=Augustin Cauchy|title=Mémoire sur les intégrales définies, |series=Oeuvres complètes Ser. 1|volume=1|publication-place=Paris|year=1814|publication-date=1882|pages=319–506}}
* {{citation|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:119883|last=Chanson|first=H.|year=2007|title=Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.')|journal=Journal La Houille Blanche|volume=5|pages=127-131|doi=10.1051/lhb:2007072|issn=0018-6368}}.
* {{citation|last=Dieudonné|first=Jean Alexander|authorlink=Jean Dieudonné|title=Foundations of modern analysis|publisher=Academic Press|year=1969}}.
*{{citation|first=L.|last=Euler|authorlink=Leonhard Euler|journal=Nova Acta Acad. Sci. Petrop.|volume=10|year=1797|pages=3–19}}
*{{citation|title=When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?|first1=J. D.|last1=Gray|first2=S. A.|last2=Morris|journal=The American Mathematical Monthly|volume=85|number=4|year=1978|publication-date=April 1978|pages=246-256|url=http://www.jstor.org/stable/2321164}}.
*{{citation|first=H.|last=Looman|title=Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen|journal=Göttinger Nach.|year=1923|pages=97-108}}.
* {{citation|last1=Pólya|first1=George|authorlink1=George Pólya|last2=Szegö|first2=Gabor|title=Problems and theorems in analysis I|publisher=Springer|year=1978|isbn=3-540-63640-4}}
*{{citation|last=Riemann|first=B.|authorlink=Bernhard Riemann|contribution=Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse|editor=H. Weber|title=Riemann's gesammelte math. Werke|publisher=Dover|publication-date=1953|pages=3–48|year=1851}}
* {{citation|last=Rudin|first=Walter|authorlink=Walter Rudin|title=Real and complex analysis|year=1966|publisher=McGraw Hill|publication-date=1987|edition=3rd|isbn=0-07-054234-1}}.
* {{springer|last=Solomentsev|first=E.D.|title=Cauchy–Riemann conditions|id=c/c020970|year=2001}}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname= Cauchy-RiemannEquations | title= Cauchy-Riemann Equations }}
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html John H. Mathews所作柯西-黎曼方程模块]

[[Category:偏微分方程]]
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