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在数学中，'''柯西-利普希茨定理'''（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称'''皮卡-林德勒夫定理'''（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階[[常微分方程]]的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由[[奧古斯丁·路易·柯西]]于1820年发表，但直到1868年，才由[[鲁道夫·利普希茨]]给出确定的形式。另一个很常见的叫法是'''皮卡-林德勒夫定理'''，得名于数学家[[埃米尔·皮卡]]和[[恩斯特·林德勒夫]]。

==局部定理==
设{{mvar|E}}为一个完备的有限维[[賦範向量空間]]（即一个[[巴拿赫空间]]），{{mvar|f}}为一个取值在{{mvar|E}}上的函数：

{| align="center" border="0"
|<math>
\begin{matrix}f : & U \times I & \longrightarrow & E  \\
& (x,t) & \longmapsto & f(x,t)\end{matrix}</math>
|}

其中{{mvar|U}}为{{mvar|E}}中的一个[[开集]]，{{mvar|I}}是<math> \mathbb R</math>中的一个[[区间]]。考虑以下的一阶[[非线性微分方程|非线性]][[常微分方程|微分方程]]：

{| align="center" border="0"
|<math>\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}  =  f(x(t),t) \qquad \qquad  (1) 
</math>
|}

如果{{mvar|f}}关于{{mvar|t}}连续，并在{{mvar|U}}中满足[[利普希茨条件]]，也就是说，
{| align="center" border="0"
|<math> \exists \kappa >0,\ \forall t \in I,\ \forall x,y \in U,\  \left| f(x,t) - f(y,t)  \right|\le  \kappa  \left| x - y \right| </math>
|}
那么对于任一给定的初始条件： <math>x(t_0) =  x_0</math>，其中 <math>t_0 \in  I</math>、<math>x_0 \in U</math>，微分方程（1）存在一个解 <math>(J,x(t))</math>，其中 <math>J \subset I</math> 是一个包含 <math>t_0</math> 的区间，<math>x(t)</math> 是一个从 <math>J </math> 射到 <math>U </math> 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点<math>t_0</math>的足够小的<math>J</math>区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的[[决定论]]思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（<math>x(t_0) =  x_0</math>）时，下一刻的情况是唯一确定的。

==局部定理的证明==
一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列<math>y_{n+1} = \Phi (y_n)</math>，使得<math> \Phi^\prime (y_n) = f(y_n,t)</math>，这样，如果这个序列有一个收敛点 <math>y</math> ，那么<math>y</math>为函数<math>\Phi</math>的[[不动点]]，这时就有<math> y^\prime = \Phi^\prime (y) = f(y,t)</math>，于是我们构造出了一个解<math>y</math>。为此，我们从常数函数
:<math>y_0(t)=x_0 \ </math>开始。令
:<math>\Phi(y_i)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(y_{i-1}(s),s)\,ds.</math>

这样构造出来的函数列<math>(y_i)_{i \ge 0}</math>中的每个函数都满足初始条件。并且由于 <math>f</math> 在 <math>U </math> 中满足[[利普希茨条件]]，当区间足够小的时候，<math>\Phi</math>成为一个[[收缩映射]]。根据[[完备空间]]的不动点存在定理，存在关于<math>\Phi</math>的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

==最大解定理==
局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解<math>\ (J,x(t))</math>、<math>(J^\prime ,x^\prime(t))</math>，定义一个序关系：<math>\ (J,x(t))</math>小于<math>(J^\prime ,x^\prime(t))</math>当且仅当 <math>J \subset J^\prime </math>，并且<math>x^\prime(t)</math>在<math>\ J</math>上的值与<math>\ x(t)</math>一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，'''微分方程的最大解是唯一存在的'''。

===证明思路===

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到[[佐恩引理]]，构造所有解的并集。

==扩展至高阶常微分方程==
对于一元的高阶常微分方程
:<math>F \left( t,y(t),y^\prime (t) \cdots  y^{(n-1)}(t) \right) =y^{(n)}(t) \qquad \qquad (2)</math>，

只需构造向量<math>Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots,\ y^{(n-1)}(t))</math>和相应的映射<math>\ \Phi</math>，就可以使得（2）变为<math>Y^\prime (t) = \Phi(Y(t),t)</math>。这时的初始条件为<math>Y(t_0)=Y_0</math>，即

{| align="left" border="0"
|<math>
\begin{matrix} y(t_0)=y_0  \\
y^\prime (t_0)=y_1  \\
\vdots \\
y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}
\end{matrix}</math>

==扩展至偏微分方程==
对于[[偏微分方程]]，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：[[柯西-克瓦列夫斯基定理]]，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

==参见==
*[[常微分方程]]
*[[柯西-克瓦列夫斯基定理]]
*[[动力系统]]
*[[初值問題]]
*[[利普希茨条件]]
*[[弗罗贝尼乌斯定理]]
*[[皮亚诺存在性定理]]

==参考资料==
*[http://www.hike.com.cn/down/jpkc/fangceng2/3.1.doc 常微分方程（组）基本理论]{{dead link|date=2018年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} 
* M. E. Lindelöf, ''Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre''; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

==相关链接==
*[http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec4.pdf 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文]
*[http://www.math.hbnu.edu.cn/changweifenfangcheng/chapter2.doc 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文]{{dead link|date=2018年6月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} 

[[Category:微分方程]]
[[Category:数学定理|K]]
[[Category:利普希茨映射]]