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{{noteTA|G1=math}}

[[數學]]上，'''柯西-施瓦茨不等式'''，又稱'''施瓦茨不等式'''或'''柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式'''，是一條很多場合都用得上的[[不等式]]；例如[[線性代數]]的[[矢量]]，[[數學分析]]的[[無窮級數]]和乘積的[[積分]]，和[[概率論]]的[[方差]]和[[協方差]]。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如[[赫尔德不等式]]。

不等式以[[奧古斯丁·路易·柯西]]（Augustin Louis Cauchy），[[赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨]]（Hermann Amandus Schwarz），和{{link-en|維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基|Viktor_Bunyakovsky}}（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

== 叙述 ==
柯西-施瓦茨不等式叙述，对于一个[[內積空間]]所有向量''x''和''y''，
:<math>\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle</math>。

其中<math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>表示[[內積]]，也叫点积。等价地，将两边开方，引用向量的[[范數]]，不等式可写为

: <math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, </math>

另外，等式成立當且僅當''x''和''y''[[線性相關性|線性相關]]（或者在几何上，它们是[[平行]]的，或其中一个向量的模为0）。

若<math>x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C</math>和<math>y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C</math>有虚部，内积即为标准内积，用拔标记共轭复数那么这个不等式可以更明确的表述为

:<math>|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).</math>

柯西—施瓦茨不等式的一個重要結果，是內積為[[連續函數]]，甚至是满足1阶[[利普希茨条件]]的函数。

==特例==

* 對[[歐幾里得空間]]'''R'''<sup>''n''</sup>，有
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)</math>。
等式成立時：
:<math>\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.</math>
也可以表示成

<math>(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2</math>

證明則須考慮一個關於<math>t</math>的一個[[一元二次方程式]]
<math>(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0 </math>

很明顯的，此方程式無[[實數]][[解 (方程)|解]]或有[[重根]]，故其[[判別式]]<math>D \leq 0</math>

注意到

<math>(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 \geq 0 </math>

⇒<math>(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) t^2 + 2 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n) t + (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \geq 0</math>

則

<math> D = 4 (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2 - 4 (x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2) (y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \leq 0</math>

即

<math>(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2</math>

<math>(x_1 t + y_1)^2 + \cdots + (x_n t + y_n)^2 = 0 </math>

<math>(x_1^2 +x_2^2 + \cdots + x_n^2)(y_1^2 +y_2^2 + \cdots + y_n^2) \ge (x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n)^2</math>

而等號成立於[[判別式]]<math>D=0</math>時

也就是此時方程式有[[重根]]，故

<math>\frac {x_1}{y_1} = \frac {x_2}{y_2} = \cdots = \frac {x_n}{y_n}.</math>

* 對平方可積的複值[[函數]]，有
:<math>\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx</math>。

這兩例可更一般化為[[赫爾德不等式]]。

* 在3維空間，有一個較強結果值得注意：原不等式可以增強至[[拉格朗日恒等式]]
:<math>\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2</math>。
:这是
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)-\left(\sum_{1\le i < j\le n}(x_i y_j - x_j y_i)^2\right)</math> 
:   在''n''=3 时的特殊情况。

==矩阵不等式==
设<math>x,y</math>为[[列向量]]，则<math>|x^*y|^2\le x^*x\cdot y^*y</math>{{efn|<math>x^*</math>表示x的[[共轭转置]]。}}
:x=0時不等式成立，设x非零，<math>z=y-\cfrac{y^*x}{\|x\|^2}x</math>，则<math>x^*z=0</math>
:<math>0\le \|z\|^2=z^*y=\|y\|^2-\cfrac{x^*y}{\|x\|^2}x^*y=\|y\|^2-\cfrac{|x^*y|^2}{\|x\|^2}</math>
:<math>|x^*y|^2\le\|x\|^2\|y\|^2</math>
:等号成立<math>\Leftrightarrow z=0 \Leftrightarrow y</math>与<math>x</math>[[线性相关]]

设<math>A</math>为<math>n\times n</math>[[Hermite阵]]，且<math>A\ge 0</math>，则<math>|x^*Ay|^2\le x^*Ax\cdot y^*Ay</math>
:存在<math>A^{1/2}</math>，设<math>u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y</math>
:<math>|u^*v|^2\le u^*u\cdot v^*v</math>
:<math>|x^*A^{1/2}A^{1/2}y|^2\le x^*A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^*A^{1/2}A^{1/2}y</math>
:<math>|x^*Ay|^2\le x^*Ax\cdot y^*Ay</math>
:等号成立<math>\Leftrightarrow y</math>与<math>x</math>线性相关

设<math>A</math>为<math>n\times n</math>[[Hermite阵]]，且<math>A>0</math>，则<math>|x^*y|^2\le x^*Ax\cdot y^*A^{-1}y</math>
:存在<math>A^{1/2},A^{-1/2}</math>，设<math>u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y</math>
:<math>|u^*v|^2\le u^*u\cdot v^*v</math>
:<math>|x^*A^{1/2}A^{-1/2}y|^2\le x^*A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^*A^{-1/2}A^{-1/2}y</math>
:<math>|x^*y|^2\le x^*Ax\cdot y^*A^{-1}y</math>
:等号成立<math>\Leftrightarrow x</math>与<math>A^{-1}y</math>线性相关<ref>{{cite book|title=矩阵不等式-(第二版)|author=王松桂}}</ref>

若<math>\displaystyle q_i\ge 0,\sum_i q_i=1</math>，则<math>\displaystyle (x^*A^{\sum_i a_i q_i}x)\le \prod_i (x^*A^{a_i}x)^{q_i}</math><ref>{{cite journal|author=程伟丽 齐静|year=2008|title=Cauchy不等式矩阵形式的推广|journal=郑州轻工业学院学报(自然科学版)|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-ZZQB200804032.htm}}</ref>

==复变函数中的柯西不等式==
设 <math>f(z)</math>在区域D及其边界上解析，<math>a</math> 为D内一点，以<math>a</math>为圆心做圆周 <math>C_R:|z-a|=R</math>，只要<math>C_R</math>及其内部G均被D包含，则有：

<math>\left| f^{(n)}(z_{0})\right|\leq \frac{n!M}{R^n}\qquad (n=1,2,3,...)</math>

其中，M是<math>|f(z)|</math>的最大值，<math>M=\max \limits_{|x-a|\in R}|f(x)|</math>
。

==其它推广==
<math>\sqrt{\sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^m a_{ij})^2} \le \sum_{j=1}^m \sqrt{\sum_{i=1}^n a_{ij}^2}</math><ref>{{cite journal|author=赵明方|year=1981|title=Cauchy不等式的推广|journal=四川师范大学学报(自然科学版)|issue=2|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SCSD198102012.htm}}</ref>

<math>m\ge \alpha >0,(\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^m a_{ij})^{\alpha} \le \prod_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij}^{\alpha}</math><ref>{{cite journal|author=洪勇|year=1993|title=推广的Cauchy不等式的再推广|journal=曲靖师范学院学报|issue=S1|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-QJSZ1993S1003.htm}}</ref>

==參見==
* [[三角不等式]]
* [[內積空間]]

== 注释 ==
{{notelist|iger=}}

==参考资料==
{{reflist}}

{{泛函分析}}
[[Category:奥古斯丁·路易·柯西]]
[[Category:代数不等式]]
[[Category:线性代数]]
[[Category:泛函分析]]