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在[[线性代数]]中，一个[[内积空间]]的'''正交基'''（{{lang|en|orthogonal basis}}）是元素两两[[正交]]的[[基 (线性代数)|基]]。称基中的元素为'''基向量'''。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为'''标准正交基'''或"规范正交基"（{{lang|en|Orthonormal basis}}）。

无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维[[希尔伯特空间]]中，正交基不再是'''哈默尔基'''，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个[[稠密]]子空间（而不是整个空间）的集合。

注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的[[巴拿赫空间]]，就是一个[[希尔伯特空间]]。

==例子==

*在欧几里德空间<math>\mathbb{R}^{3}</math>中，集合：{''e''<sub>1</sub>=(1,0,0), ''e''<sub>2</sub>=(0,1,0), ''e''<sub>3</sub>=(0,0,1)}组成一个标准正交基。

*由''f''<sub>''n''</sub>(''x'') = exp（2π''inx''）定义的集合：
:{''f''<sub>''n''</sub> : ''n'' ∈ '''Z'''}组成在复[[勒贝格空间]]L<sup>2</sup>（[0,1]）上的一个标准正交基。

==基本性质==

''B''是''H''上的一个正交基，那么''H''中的每个元素''x''都可以表示成：
:<math>x=\sum_{b\in B}{\langle x,b\rangle\over\lVert b\rVert^2} b</math>

当''B''是标准正交基时，就是：

:<math>x=\sum_{b\in B}\langle x,b\rangle b</math>

''x''的[[范数|模长]]表示为：

:<math>\|x\|^2=\sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2</math>.

即使''B''不是可数的，上面和式里的非零项也只会有可数多个，所以这个表达式仍然是有效的。上式被称作''x''的'''''傅立叶展开'''''，详见[[傅里叶级数]]。

若''B''是''H''上的一个标准正交基，那么''H''“[[同构]]”于[[希尔伯特空间#常见的例子#序列空间|序列空间]]''l''<sup>2</sup>（''B''）。因为存在以下''H'' <tt>-></tt> ''l''<sup>2</sup>（''B''）的[[双射]]Φ，使得对于所有''H''中的''x''和''y''有：

:<math>\langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=\langle x,y\rangle</math>

==正交基的存在性==

运用[[佐恩引理]]和[[格拉姆-施密特正交化]]方法，可以证明每个[[希尔伯特空间]]都有基，并且有正交基。同一个空间的正交基的[[基数]]必然是相同的。当一个希尔伯特空间有可数个元素组成的正交基，就说这个空间是可分的。

==哈默尔基==

有前面的定义可以知道，在无穷维空间的情况下，正交基不再是一般线性代数的定义下的基。为了区分，把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。

在内积空间的实际应用中，哈默尔基甚少出现，因此提到“基”的概念时，一般指的是正交基。

== 参看 ==
*[[基 (線性代數)]]
*[[正交]]
*[[正交化]]
**[[格拉姆-施密特正交化]]
*[[正交分解]]
*[[正交矩阵]]
*[[垂直]]

[[Category:抽象代数|Z]]
[[Category:線性代數|Z]]

[[da:Ortonormal basis]]