查看“梅林变换”的源代码

{{expand English | Mellin transform | time = 2018-4-11}}
在数学中，'''梅林变换'''是一种以幂函数为核的[[积分变换]]。定义式如下：

:<math>\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx.</math>

而其逆变换为
:<math>\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds.</math>

梅林变换有许多应用，例如可以证明[[黎曼ζ函数]]的[[黎曼ζ函数#函数方程|函数方程]]。

== 與其他變換之關係 ==

=== 雙邊拉普拉斯變換 ===
雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示，如下式

:<math> \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)</math>

梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示，如下式

:<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)</math>

=== 傅立葉變換 ===
傅立葉變換可以用梅林變換來表示，如下式

:<math>\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(-is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is)\ </math>

梅林變換變換也可以用傅立葉來表示，如下式

:<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x}) \right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)\ </math>

== 範例 ==

=== Cahen–Mellin 積分 ===
對於 <math>c>0</math>，<math>\Re(y)>0</math>，且 <math>y^{-s}</math>在主要分支（principal branch）上，我們有

:<math> e^{-y}= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s} \; ds </math>

其中 <math>\Gamma(s)</math>為 Γ函數。

=== 數論 ===
假設

:<math>\Re (s+a)<0</math>

我們有

:<math>
f(x)=\begin{cases} 0  & x < 1 \\ x^a & x > 1 \end{cases}
</math>

其中

:<math>
\mathcal M f (s)= - \frac 1 {s+a}
</math>

== 圓柱坐標系下的拉普拉斯算子 ==
在任何維度的圓柱坐標系中，拉普拉斯算子總是會包含下式

:<math>\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right)</math>

例如，拉普拉斯算子在二維空間的極坐標表示法

:<math>\nabla^2 f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}</math>

或是在三維空間的柱坐標表示法

:<math> \nabla^2 f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

而利用梅林變換可以很簡單的處理此項

:<math>\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) = f_{rr} + \frac{f_r}{r}</math>

:<math>\mathcal M \left(r^2 f_{rr} + r f_r,  r \to s \right) = s^2 \mathcal M \left(f,  r \to s \right) = s^2 F</math>

舉例來說，二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式

:<math> r^2 f_{rr} +  r f_r + f_{\theta \theta} = 0</math>

或是

:<math>\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0</math>

利用梅林變換，可以轉換成一個簡諧振子的形式

:<math> F_{\theta \theta} + s^2 F = 0</math>

通解為

:<math> F (s, \theta) = C_1(s) \cos (s\theta) + C_2(s) \sin (s \theta)</math>

若給定邊界條件

:<math> f(r,-\theta_0) = a(r), \quad  f(r,\theta_0) = b(r) </math>

其梅林變換為

:<math> F(s,-\theta_0) = A(s), \quad  F(s,\theta_0) = B(s) </math>

則通解可以寫成

:<math> F (s, \theta) = A(s) \frac {\sin(s (\theta_0 - \theta))}{\sin (2 \theta_0 s)}+ B(s) \frac {\sin(s (\theta_0 + \theta))}{\sin (2 \theta_0 s)}</math>

最後利用逆變換以及卷積定理

:<math>\mathcal M^{-1} \left( \frac {\sin (s \varphi)}{\sin (2 \theta_0 s)}; s \to r \right) = \frac 1 {2 \theta_0} \frac{r^m \sin (m \varphi)}{1+2r^m \cos(m \varphi) + r^{2m}}</math>

其中

:<math>m= \frac \pi {2 \theta_0}</math>

可以得到

:<math> f(r, \theta) = \frac{r^m \cos (m \theta)}{2 \theta_0} \int_0^\infty \left \{ \frac{a(x)}{x^{2m} + 2r^m x^m \sin(m \theta) + r^{2m}} + \frac{b(x)}{x^{2m} - 2r^m x^m \sin(m \theta) + r^{2m}} \right \} x^{m-1} \, dx </math>

== 参考文献 ==
*{{cite book
  | last1 = Galambos  | first1 = Janos
  | last2 = Simonelli | first2 = Italo
  | year = 2004
  | title = Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions
  | publisher = Marcel Dekker, Inc.
  | isbn = 0-8247-5402-6
  | ref = harv }}

[[Category:积分变换]]
[[Category:复分析]]