查看“梅森素数”的源代码

{{refimprove|time=2013-03-17T02:53:38+00:00}}
{{noteTA|T=zh:梅森素数;zh-cn:梅森素数;zh-tw:梅森質數;zh-hk:梅森質數;|1=zh:素数;zh-cn:素数;zh-tw:質數;zh-hk:質數;|G1=Math}}

'''梅森数'''是指形如<math>2^n - 1</math>的数，记为<math>M_n</math>；如果一个梅森数是[[素数]]那么它称为'''梅森素数'''（{{lang-en|Mersenne prime}}）。
{| class="wikitable collapsible collapsed floatright" style="text-align:center; font-size:small;"
|+ 梅森预测表: ''n'' ≤ 263
|-
!colspan="9"|
|-
|colspan="9" style="text-align: center;"|P : ''M{{sub|n}}''是梅森素数<br />— : ''M{{sub|n}}''是梅森合数<br /><span style="background-color:#00FFFF">青色: 显示正确</span><br /><span style="background-color:#FFC0CB">粉紅色: 显示错误</span>
|-
! ''n''
! 2 !! 3 !! 5 !! 7 !! 11 !! 13 !! 17 !! 19
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | P
|-
! ''n''
! 23 !! 29 !! 31 !! 37 !! 41 !! 43 !! 47 !! 53
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! ''n''
! 59 !! 61 !! 67 !! 71 !! 73 !! 79 !! 83 !! 89
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P || style="background-color:#FFC0CB" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P
|-
! ''n''
! 97 !! 101 !! 103 !! 107 !! 109 !! 113 !! 127 !! 131
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | P || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | P || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! ''n''
! 137 !! 139 !! 149 !! 151 !! 157 !! 163 !! 167 !! 173
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! ''n''
! 179 !! 181 !! 191 !! 193 !! 197 !! 199 !! 211 !! 223
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|-
! ''n''
! 227 !! 229 !! 233 !! 239 !! 241 !! 251 !! 257 !! 263
|-
| ''M{{sub|n}}''
| style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#00FFFF" | — || style="background-color:#FFC0CB" | — || style="background-color:#00FFFF" | —
|}
梅森数是根据17世纪[[法国]][[数学家]][[马兰·梅森]]（{{lang|fr|Marin Mersenne}}）的名字命名的，他列出了''n'' ≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是梅森素数的''M''<sub>67</sub>和''M''<sub>257</sub>，而遗漏了''M''<sub>61</sub>、''M''<sub>89</sub>和''M''<sub>107</sub>。

当''n''为[[合数]]时，<math>M_n</math>一定为合数（因為當''a''整除''b''時，<math>M_a</math>一定整除<math>M_b</math>，反之亦然）。但当n为素数时，<math>M_n</math>不一定皆為[[素数]]，比如<math>M_2=2^2-1=3</math>和<math>M_3=2^3-1=7</math>是素数，但<math>M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89</math>卻不是素数。

截至2018年12月，已知的梅森素数共有51个。已知最大的梅森素数是<math>2^{82589933}-1</math><ref name="M82589933"/>。从1997年至今，所有新的梅森素数都是由[[互联网梅森素数大搜索]]（GIMPS）[[分布式计算]]项目发现的。

== 相关命题和定理 ==

=== 梅森数和梅森素数的性质 ===

*<math> M_n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} - 1 </math>。

*''q'' ≡ 3 mod 4为素数。则 '''2''q''+1是素数''' 的[[充分必要条件]]是 '''2''q''+1整除''M<sub>q</sub>''''' ，因此對於這些素數''q''（除了3），''M<sub>q</sub>''不可能會是質數，前幾個這樣的素數''q''為11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, 359, 419, 431, 443, 491, 659, 683, 719, 743, 911, 1019, 1031, 1103, 1223, 1439, 1451, 1499, ... {{OEIS|id=A002515}}

*[[拉馬努金]]-南哥尔方程（Ramanujan–Nagell Equation）：''M<sub>q</sub>'' = 6+''x''<sup>2</sup>。当''q''为3、5和7时，''M<sub>q</sub>''为梅森素数，方程有整数解；''q''为合数4和15时，方程亦有整数解；''q''为其它自然数时，方程没有整数解。

*如果''p''是奇素数，那么任何能整除2<sup>''p''</sup> − 1的素数''q''都一定是''1''加上一个2''p''的倍数。例如，2<sup>11</sup> − 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。

*如果''p''是奇素数，那么任何能整除<math>2^p-1</math>的素数''q''都一定与<math>\pm 1 \pmod 8</math>同余。

=== 梅森数和梅森素数的关系 ===

'''下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。'''
*由<math>2^{ab}-1=(2^a-1)\times\sum_{i=0}^{b-1}2^{ia}</math>知：''q''是[[素数]]是''M<sub>q</sub>''是[[素数]]的[[必要条件]]。但这不是[[充分条件|充分]]的。''M''<sub>11</sub> = 2<sup>11</sup> − 1 = 23 × 89是个[[反例]]。
*对''M<sub>q</sub>''（q是[[素数]]）有：
**若''a''是''M<sub>q</sub>''的因数，则''a''有如下性质：
***''a'' ≡ 1 mod 2''q''
***''a'' ≡ ±1 mod 8
**欧拉的一个关于形如''1+6k''的数的理论表明：''M<sub>q</sub>''是素数当且仅当存在数对（''x'',''y''）使得''M<sub>q</sub>'' = (2''x'')<sup>2</sup> + 3(3''y'')<sup>2</sup>，其中''q'' ≥ 5。
**最近，Bas jansen研究了等式''M<sub>q</sub>'' = ''x''<sup>2</sup> + ''dy''<sup>2</sup>（0≤''d''≤48），得出了一个对于''d''=3情况下的新的证明方法。
**Reix发现''q'' > 3时，''M<sub>q</sub>''可以写成：''M<sub>q</sub>'' = (8''x'')<sup>2</sup> - (3''qy'')<sup>2</sup> = (1+''Sq'')<sup>2</sup> - (''Dq'')<sup>2</sup>。显然，若存在一个数对（''x'',''y''），那么''M<sub>q</sub>''是素数。

=== 梅森数的素数检验 ===

*[[卢卡斯-莱默检验法]]是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。
**该方法由[[爱德华·卢卡斯]]于1878年发现，并由{{link-en|德里克·亨利·莱默|Derrick Henry Lehmer}}于1930年代作了改进，因此得名。
**该方法基于{{link-en|循环数列|Derrick Henry Lehmer}}的计算，其原理是：
:''M<sub>n</sub>''为素数当且仅当''M<sub>n</sub>''[[整除]]''S''<sub>''n''-2</sub>（''S''<sub>0</sub>=4，''S''<sub>''k''</sub> = ''S''<sup> 2</sup><sub>''k'' − 1</sub> − 2，''k'' > 0），此數列為4, 14, 194, 37634, 1416317954, 2005956546822746114, 4023861667741036022825635656102100994, ... {{OEIS|id=A003010}}

=== 与完全数的关系 ===
*梅森素数与[[偶数|偶]][[完全数]]有一一对应的关系。這個結果稱為[[歐幾里得－歐拉定理]]。
**前4世纪，[[欧几里得]]（Euclid）证明如果''M''是梅森素数，那么<math>\frac{M(M+1)}{2}</math>是[[完全数]]。
**18世纪，[[欧拉]]（Euler）证明所有的[[偶数|偶]][[完全数]]都有这种形式。

== 相关问题和猜想 ==
*是否有无穷多个梅森素数。
*梅森素数如何分布。

== 寻找梅森素数 ==<!--
因为寻找梅森素数的快速算法的存在，使得我们今天发现的最大的素数总是梅森素数。-->
*头四个梅森素数''M''<sub>2</sub>、''M''<sub>3</sub>、''M''<sub>5</sub>、''M''<sub>7</sub>在古代就已经知道。
*第五个梅森素数''M''<sub>13</sub>在1461年之前被发现；
*随后的两个（''M''<sub>17</sub>和''M''<sub>19</sub>）在1588年由[[Pietro Cataldi|Cataldi]]发现。
*17世纪法国[[数学家]][[马兰·梅森]]列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数，其中错误地包括了不是素数的''M''<sub>67</sub>和''M''<sub>257</sub>，遗漏了''M''<sub>61</sub>、''M''<sub>89</sub>和''M''<sub>107</sub>。这也是“梅森素数”这个名字的由来。
*一个多世纪后的1750年，才由[[欧拉]]证实''M''<sub>31</sub>是第8个梅森素数。
*下一个被发现的梅森素数是由[[爱德华·卢卡斯|卢卡斯]]在1876年证明的''M''<sub>127</sub>；
*1883年，[[Ivan Mikheevich Pervushin|Pervushin]]证实''M''<sub>61</sub>。
*''M''<sub>89</sub>和''M''<sub>107</sub>是在20世纪早期由[[R._E._Powers|Powers]]分别在1911年和1914年发现的。
*电子计算机的发明革命化的改进了梅森素数的寻找。第一个成功的例子是''M''<sub>521</sub>的证明，它是在[[德里克·亨利·莱默|莱默]]指导下，使用[[拉斐爾·米切爾·羅賓遜]]教授编写的软件，利用坐落在[[洛杉矶]][[加利福尼亚大学]]的[[数据分析协会]]的，属于[[国家标准技术研究所|美国国家标准局]]的西部自动计算机（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00获得。并且在随后不到两小时，下一个梅森素数''M''<sub>607</sub>被发现。在随后的几个月裡，使用同样的程序发现了另外三个梅森素数''M''<sub>1279</sub>、''M''<sub>2203</sub>和''M''<sub>2281</sub>。
*隨著素數P值的增大，每一個梅森素數MP的產生都艱辛無比；而各國[[科學家]]及業餘研究者們仍樂此不疲，激烈競爭。1979年2月23日，當[[美國]][[克雷研究公司]]的[[計算機]]專家[[史洛溫斯基]]和[[納爾遜]]宣布他們找到第26個梅森素數''M''<sub>23209</sub>時，人們告訴他們：在兩個星期前諾爾已得到這一結果。
*為此，[[史洛溫斯基]]潛心發憤，花了一個半月的時間，使用[[CRAY-1型]][[計算機]]找到了新的梅森素數''M''<sub>44497</sub>。這個記錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。

*之後，這位計算機專家乘勝前進，使用經過改進的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到了3個梅森素數：''M''<sub>86243</sub>、''M''<sub>132049</sub>和''M''<sub>216091</sub>。但他未能確定''M''<sub>86243</sub>和''M''<sub>216091</sub>之間是否有異於''M''<sub>132049</sub>的梅森素數。而到了[[1988年]]，[[科爾魁特]]和[[韋爾什]]使用[[NEC-FX2型]]超高速并行計算機果然捕捉到了一條「漏網之魚」——''M''<sub>110503</sub>。

*沉寂4年之後，1992年3月25日，英國[[原子能技術權威機構]]——[[哈威爾實驗室]]的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數''M''<sub>756839</sub>。

*1994年1月14日，[[史洛溫斯基]]和[[蓋奇]]為其公司再次奪回發現「已知最大素數」的桂冠——這一素數是''M''<sub>859433</sub>。而下一個梅森素數''M''<sub>1257787</sub>仍是他們的成果。這一素數是使用[[CRAY-794超級計算機]]在1996年取得的。

*[[史洛溫斯基]]由於發現7個梅森素數，而被人們譽為「素數大王」。

*到2018年12月，我们知道了51个梅森素数；现在已知最大的素数是梅森素数''M''<sub>82589933</sub>。像前几个一样，都是由''[[GIMPS|因特网梅森素数大搜索]]''（GIMPS）[[分布式计算]]项目发现的。
*2010年7月11日GIMPS项目確認''M''<sub>20,996,011</sub>是第40個梅森素数。<ref name="Milestones"> [http://www.mersenne.org/report_milestones/ GIMPS Milestones] </ref>
*2011年12月1日GIMPS项目确认''M''<sub>24,036,583</sub>是第41个梅森素数。<ref name="Milestones" />
*2012年12月20日GIMPS项目确认''M''<sub>25,964,951</sub>是第42个梅森素数。<ref name="Milestones" />
*2013年1月25日GIMPS项目发现''M''<sub>57,885,161</sub><ref name="Milestones" />
*2014年2月23日GIMPS项目确认''M''<sub>30,402,457</sub>是第43个梅森素数。<ref name="Milestones" />
*2014年11月8日GIMPS项目确认''M''<sub>32,582,657</sub>是第44个梅森素数。<ref name="Milestones" />
*2016年1月7日GIMPS項目發現''M''<sub>74,207,281</sub><ref name="Milestones" />
*2018年1月3日GIMPS项目发现的''M''<sub>77232917</sub>，共有23249425位数<ref>{{cite web |title=GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2<sup>77,232,917</sup>-1 |url=https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html |date=2018年1月3日 |work=Mersenne Research, Inc. |accessdate=2018年1月14日}}</ref>。
*2018年12月7日GIMPS项目''M''<sub>82589933</sub>，共有24862048 位数<ref name="M82589933">{{Cite web|url=https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933|title=Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!|accessdate=2018-12-24|work=www.mersenne.org}}</ref>。

===梅森素数列表===
{{legend2|#FFBBFF|梅森遺漏的梅森素数|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#BFFFBF|[[GIMPS]]發現的梅森素数|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#E066FF|古代知道的梅森素数|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#FFFF00|以[[試除法]]發現的梅森素数|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#6666FF|[[拉斐爾·米切爾·羅賓遜]]發現的梅森質數|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#00FFFF|[[亞歷山大·赫維茲]]發現的梅森質數|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#C0C0C0|[[Donald B. Gillies]]發現的梅森質數|border=1px solid #AAAAAA}}

{{legend2|#FF8080|[[Walt Colquitt]] & [[Luke Welsh]]發現的梅森質數|border=1px solid #AAAAAA}}

下面表中列出了所有已知的[[梅森]]素数：{{oeis|A000668}}
{| class="wikitable sortable"
|+
|-
! #
! ''n''
! ''M''<sub>''n''</sub>
! ''M''<sub>''n''</sub>的位数
! 发现日期
! 发现者
! 算法
|-bgcolor="E066FF"
| align="right" | 1
| align="right" | [[2]]
| align="right" | [[3]]
| align="right" | 1
| 公元前5世紀
| [[古希臘]]数學家
|
|-bgcolor="E066FF"
| align="right" | 2
| align="right" | [[3]]
| align="right" | [[7]]
| align="right" | 1
| 公元前5世紀
| 古希臘数學家
|
|-bgcolor="E066FF"
| align="right" | 3
| align="right" | [[5]]
| align="right" | [[31]]
| align="right" | 2
| 公元前3世紀
| 古希臘数學家
|
|-bgcolor="E066FF"
| align="right" | 4
| align="right" | [[7]]
| align="right" | [[127]]
| align="right" | 3
| 公元前3世紀
| 古希臘数學家
|
|-bgcolor="FFFF00"
| align="right" | 5
| align="right" | [[13]]
| align="right" | [[8191]]
| align="right" | 4
| 1456年
| ''无名氏''
| [[试除法]]
|-bgcolor="FFFF00"
| align="right" | 6
| align="right" | [[17]]
| align="right" | [[131071]]
| align="right" | 6
| 1588年
| [[彼得·羅卡塔爾迪]]
| 试除法
|-bgcolor="FFFF00"
| align="right" | 7
| align="right" | [[19]]
| align="right" | [[524287]]
| align="right" | 6
| 1588年
| 彼得·羅卡塔爾迪
| 试除法
|-bgcolor="FFFF00"
| align="right" | 8
| align="right" | [[31]]
| align="right" | [[2147483647]]
| align="right" | 10
| 1772年
| [[莱昂哈德·欧拉]]
| 优化的试除法
|-bgcolor="FFBBFF"
| align="right" | 9
| align="right" | [[61]]
| align="right" | 2305843009213693951
| align="right" | 19
| 1883年
| [[Ivan Mikheevich Pervushin]]
| [[卢卡斯数列]]
|-bgcolor="FFBBFF"
| align="right" | 10
| align="right" | [[89]]
| align="right" | 618970019642690137449562111
| align="right" | 27
| 1911年
| [[Ralph Ernest Powers]]
| 卢卡斯数列
|-bgcolor="FFBBFF"
| align="right" | 11
| align="right" | [[107]]
| align="right" | 162259276829213363391578010288127
| align="right" | 33
| 1914年
| Ralph Ernest Powers
| 卢卡斯数列
|-
| align="right" | 12
| align="right" | [[127]]
| align="right" | 170141183460469231731687303715884105727
| align="right" | 39
| 1876年
| [[爱德华·卢卡斯]]
| 卢卡斯数列
|-bgcolor="6666FF"
| align="right" | 13
| align="right" | [[521]]
| align="right" | 686479766013…291115057151
| align="right" | 157
| 1952年1月30日
| [[拉斐爾·米切爾·羅賓遜]]
| [[卢卡斯-莱默检验法]]
|-bgcolor="6666FF"
| align="right" | 14
| align="right" | [[607]]
| align="right" | 531137992816…219031728127
| align="right" | 183
| 1952年1月30日
| 拉斐爾·米切爾·羅賓遜
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="6666FF"
| align="right" | 15
| align="right" | 1,279
| align="right" | 104079321946…703168729087
| align="right" | 386
| 1952年6月25日
| 拉斐爾·米切爾·羅賓遜
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="6666FF"
| align="right" | 16
| align="right" | 2,203
| align="right" | 147597991521…686697771007
| align="right" | 664
| 1952年10月7日
| 拉斐爾·米切爾·羅賓遜
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="6666FF"
| align="right" | 17
| align="right" | 2,281
| align="right" | 446087557183…418132836351
| align="right" | 687
| 1952年10月9日
| 拉斐爾·米切爾·羅賓遜
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 18
| align="right" | 3,217
| align="right" | 259117086013…362909315071
| align="right" | 969
| 1957年9月8日
| [[Hans Riesel]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="00FFFF"
| align="right" | 19
| align="right" | 4,253
| align="right" | 190797007524…815350484991
| align="right" | 1,281
| 1961年11月3日
| [[亞歷山大·赫維茲]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="00FFFF"
| align="right" | 20
| align="right" | 4,423
| align="right" | 285542542228…902608580607
| align="right" | 1,332
| 1961年11月3日
| 亞歷山大·赫維茲
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="C0C0C0"
| align="right" | 21
| align="right" | 9,689
| align="right" | 478220278805…826225754111
| align="right" | 2,917
| 1963年5月11日
| [[Donald B. Gillies]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="C0C0C0"
| align="right" | 22
| align="right" | 9,941
| align="right" | 346088282490…883789463551
| align="right" | 2,993
| 1963年5月16日
| Donald B. Gillies
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="C0C0C0"
| align="right" | 23
| align="right" | 11,213
| align="right" | 281411201369…087696392191
| align="right" | 3,376
| 1963年6月2日
| Donald B. Gillies
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 24
| align="right" | 19,937
| align="right" | 431542479738…030968041471
| align="right" | 6,002
| 1971年3月4日
| [[布萊恩特·塔克曼]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 25
| align="right" | 21,701
| align="right" | 448679166119…353511882751
| align="right" | 6,533
| 1978年10月30日
| [[Landon Curt Noll]] & [[Laura Nickel]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 26
| align="right" | 23,209
| align="right" | 402874115778…523779264511
| align="right" | 6,987
| 1979年2月9日
| Landon Curt Noll
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 27
| align="right" | 44,497
| align="right" | 854509824303…961011228671
| align="right" | 13,395
| 1979年4月8日
| [[Harry Nelson]] & [[David Slowinski]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 28
| align="right" | 86,243
| align="right" | 536927995502…209433438207
| align="right" | 25,962
| 1982年9月25日
| David Slowinski
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="FF8080"
| align="right" | 29
| align="right" | 110,503
| align="right" | 521928313341…083465515007
| align="right" | 33,265
| 1988年1月28日
| [[Walt Colquitt]] & [[Luke Welsh]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 30
| align="right" | 132,049
| align="right" | 512740276269…455730061311
| align="right" | 39,751
| 1983年9月20日
| David Slowinski
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 31
| align="right" | 216,091
| align="right" | 746093103064…103815528447
| align="right" | 65,050
| 1985年9月6日
| David Slowinski
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 32
| align="right" | 756,839
| align="right" | 174135906820…328544677887
| align="right" | 227,832
| 1992年2月19日
| David Slowinski & [[Paul Gage]]
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 33
| align="right" | 859,433
| align="right" | 129498125604…243500142591
| align="right" | 258,716
| 1994年1月10日
| David Slowinski & Paul Gage
| 卢卡斯-莱默检验法
|-
| align="right" | 34
| align="right" | 1,257,787
| align="right" | 412245773621…976089366527
| align="right" | 378,632
| 1996年9月3日
| David Slowinski & Paul Gage
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 35
| align="right" | 1,398,269
| align="right" | 814717564412…868451315711
| align="right" | 420,921
| 1996年11月13日
| [[GIMPS]]／Joel Armengaud
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 36
| align="right" | 2,976,221
| align="right" | 623340076248…743729201151
| align="right" | 895,932
| 1997年8月24日
| GIMPS／Gordon Spence
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 37
| align="right" | 3,021,377
| align="right" | 127411683030…973024694271
| align="right" | 909,526
| 1998年1月27日
| GIMPS／Roland Clarkson
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 38
| align="right" | 6,972,593
| align="right" | 437075744127…142924193791
| align="right" | 2,098,960
| 1999年6月1日
| GIMPS／Nayan Hajratwala
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 39
| align="right" | 13,466,917
| align="right" | 924947738006…470256259071
| align="right" | 4,053,946
| 2001年11月14日
| GIMPS／Michael Cameron
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 40
| align="right" | 20,996,011
| align="right" | 125976895450…762855682047
| align="right" | 6,320,430
| 2003年11月17日
| GIMPS／Michael Shafer
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 41
| align="right" | 24,036,583
| align="right" | 299410429404…882733969407
| align="right" | 7,235,733
| 2004年5月15日
| GIMPS／Josh Findley
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 42
| align="right" | 25,964,951
| align="right" | 122164630061…280577077247
| align="right" | 7,816,230
| 2005年2月18日
| GIMPS／Martin Nowak
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 43
| align="right" | 30,402,457
| align="right" | 315416475618…411652943871
| align="right" | 9,152,052
| 2005年12月15日
| GIMPS／[[Curtis Cooper]]及Steven Boone
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 44
| align="right" | 32,582,657
| align="right" | 124575026015…154053967871
| align="right" | 9,808,358
| 2006年9月4日
| GIMPS／[[Curtis Cooper]]及Steven Boone
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 45
| align="right" | 37,156,667
| align="right" | 202254406890…022308220927
| align="right" | 11,185,272
| 2008年9月6日
| GIMPS／Hans-Michael Elvenich
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 46
| align="right" | 42,643,801
| align="right" | 169873516452…765562314751
| align="right" | 12,837,064
| 2009年4月12日{{noteTag|2009年4月12日首次有機器發現''M''<sub>42,643,801</sub>，但直到6月4日才有人注意到。因此，兩者皆可視為發現日期。}}
| GIMPS／Odd M. Strindmo
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 47
| align="right" | 43,112,609
| align="right" | 316470269330…166697152511
| align="right" | 12,978,189
| 2008年8月23日
| GIMPS／Edson Smith
| 卢卡斯-莱默检验法
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 48<sup>*</sup>
| align="right" | 57,885,161
| align="right" | 581887266232…071724285951
| align="right" | 17,425,170
| 2013年1月25日
| [[GIMPS]]／[[Curtis Cooper]]
| [[卢卡斯-莱默检验法]]
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 49<sup>*</sup>
| align="right" | 74,207,281
| align="right" | 300376418084...391086436351
| align="right" | 22,338,618
| 2015年9月17日{{noteTag|2015年9月17日首次有機器發現''M''<sub>74,207,281</sub>，但直到2016年1月7日才有人注意到。因此，兩者皆可視為發現日期。[[GIMPS]]以後者為正式日期。}}
| [[GIMPS]]／[[Curtis Cooper]]
| [[卢卡斯-莱默检验法]]
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 50<sup>*</sup>
| align="right" | 77,232,917
| align="right" | 467333183359...069762179071
| align="right" | 23,249,425
| 2017年12月26日
| [[GIMPS]]／Jon Pace
| [[卢卡斯-莱默检验法]]
|-bgcolor="BFFFBF"
| align="right" | 51<sup>*</sup>
| align="right" | 82,589,933
| align="right" | 148894445742...325217902591
| align="right" | 24,862,048
| 2018年12月7日
| [[GIMPS]]／Patrick Laroche
| [[卢卡斯-莱默检验法]]
|}

注：现在还不知道在第47个梅森素数（''M''<sub>43112609</sub>）和第51个（''M''<sub>82589933</sub>）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前用<sup>*</sup>标出。<!--
前30位梅森素数的全部数字，参见[[Wikisource:Mersenne primes]]。-->
{{noteFoot}}

==外部链接==
*{{en}}[http://www.mersenne.org/prime.htm Great Internet Mersenne Prime Search] GIMPS計劃
*{{en}}[http://primes.utm.edu/mersenne/ Mersenne Primes: History, Theorems and Lists] 梅森素数：历史，定理，以及梅森素数列表

==参考==
<references />

[[Category:素数]]
[[Category:数学中未解决的问题]]