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在[[抽象代数]]中，'''森田等价'''（{{lang|en|Morita equivalence}}）是定义在环之间的一个[[等价关系]]，这个等价保持许多环论性质。以[[日本]]数学家{{le|森田纪一|Kiiti Morita}}命名，他在1958年定义了这个等价关系以及对偶性的一个类似概念。

== 动机 ==
通常通过研究环上的[[模]]来研究环本身，因为模可以看成环的[[表示]]。每个环有自然的在自己上的 R-模结构，其模作用定义为环中的乘法，所以通过模的进路更一般，能给出有用的信息。因此，我们经常通过研究环上的模[[范畴 (数学)|范畴]]来研究环。

森田等价便采取这种观点，自然地定义环等价如果它们的模范畴是[[范畴的等价|等价]]的。

== 正式定义 ==
两个环 ''R'' 与 ''S'' 称为森田等价如果 ''R'' 上的（左）模范畴 <sub>''R''</sub>''M'' 与 ''S'' 上的（左）模范畴 <sub>''S''</sub>''M'' 之间存在一个[[加性函子|加性]]等价。

可以证明左模范畴等价[[当且仅当]]右模范畴是等价的。

等价可以刻画为：如果 F:<sub>R</sub>''M'' <math>\to</math> <sub>S</sub>''M'' 与 ''G'':<sub>S</sub>''M'' <math>\to</math> <sub>R</sub>''M'' 是加性（共变）函子，则 ''F'' 与 ''G'' 是等价的当且仅当存在一个平衡的 (''S'',''R'')-双模 ''P'' 使得 <sub>S</sub>''P'' 与 ''P''<sub>R</sub> 是有限生成投射生成元与[[自然变换|自然同构]] <math> F \cong (P \otimes_R -)</math> 与 <math>G \cong \operatorname{Hom}_S(P,-) .</math>

== 等价保持的性质 ==
模范畴中等价的对象保持许多性质。取环作为特例，我们有等价的环保持下列性质。如果 ''R'' 与 ''S'' 是等价的环，那么 ''R''
*[[单环|单]]
*[[半单环|半单]]
*[[诺特环|诺特]]
*[[阿廷环|阿廷]]
*[[本原环|本原]]
当且仅当 ''S'' 满足相应的性质。另外，我们有 Cen(''R'') [[同构]]于 Cen(''S'')，这里 Cen 表示[[环的中心]]，以及 ''R''/''J(R)'' 等价于 ''S''/''J(S)''，这里 ''J'' 表示[[雅各布森根]]。

但是，森田等价不是同构。可以找到不同构但为森田等价的两个环，不过极其困难。森田等价蕴含同构的一个重要特例是[[交换环]]的情形。

== 例子 ==
对任何 <math>n > 0</math>，元素属于 ''R'' 的全[[矩阵]]环 ''M''<sub>n</sub>(''R'') 等价于 ''R''。注意这推广了由 [[Artin-Wedderburn定理|Artin-Wedderburn 定理]]给出的单阿廷环的分类。为了看出这个等价，注意到如果 <math>M</math> 是一个左 ''R''-模则 <math>M^n</math> 是一个 <math>M_n(R)</math>-模，其模结构由将矩阵标准作用到[[向量]]上给出。这允许定义一个从左 ''R''-模到左 <math>M_n(R)</math>-模范畴的函子。逆函子由实现定义：对任何左 <math>M_n(R)</math>-模存在一个左 ''R''-模 ''V'' 以及一个正整数 ''n''，使得这个 <math>M_n(R)</math>-模是由 ''V'' 通过上述方式得到的。

== 等价的判据 ==
对任何从左 ''R''-模范畴到左 ''S''-模范畴的与[[直和]]交换的右正合函子 ''F''，[[同调代数]]的一个定理指出存在一个 ''(S,R)''-双模 ''E'' 使得 ''F'' 自然等价于 <math>E \otimes_R -</math>。这意味着如果 ''R'' 与 ''S'' 森田等价等且仅当存在双模 ''M'' 与 ''N'' 使得 <math>M \otimes N \cong R</math> 以及 <math>N \otimes M \cong S</math>。此外，<math>N \cong \operatorname{Hom}(M,S)</math>。

== 进一步的说明 ==
与等价理论相对的是模范畴之间的[[对偶范畴|对偶性]]理论，这时函子是[[反边函子|反变]]的而不是共变的。这个理论，虽然形式上类似，但是却显著的不同，因为没有在任何环上的模范畴之间的对偶性，尽管可能对子范畴有对偶性存在。换句话说，因为无限维模一般不是自反的，对偶性理论更容易应用到诺特环上有限生成[[代数 (环论)|代数]]。也许不奇怪，上面的判据关于对偶性有一个类比，此时自然同构由 Hom 函子而不是张量函子给出。

森田等价也能对更复杂的结构定义，比如辛[[群胚]]与 [[C*-代数]]。在 C*-代数情形，需要一种更强的等价关系，称为强森田等价，因为额外的结构得到的结果在应用中非常有用。

== 在 K-理论中的重要性 ==
如果两个环是森田等价的，则在相应的[[投射模]]范畴有一个诱导等价，这是因为森田等价保持[[正合序列]]（从而保持投射模）。因为一个环的[[代数 K-理论]]用环上的投射模范畴的神经的分类空间的同伦群定义（Quillen 进路），森田等价的环一定有同构的 K-群。

==参考文献==
* F.W. Anderson and K.R. Fuller: ''Rings and Categories of Modules'', Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2 nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3

* Meyer, Ralf: ''Morita Equivalence In Algebra And Geometry'', http://citeseer.ist.psu.edu/meyer97morita.html

[[Category:模论|S]]
[[Category:环论|S]]
[[Category:伴随函子|S]]
[[Category:对偶理论|S]]