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[[File:Ellipse Properties.svg|thumb|right|400px|椭圆和它的某些数学性质]]
在[[数学]]中，'''椭圆'''是平面上到两个相異固定点的距离之和为[[常数]]的点之轨迹。

根據該定義，可以用手繪橢圓：先準備一條線，將這條線的兩端各綁在固定的點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點，且距離小於線長）；取一支筆，用筆尖将線繃緊，這時候兩個點和筆就形成了一個三角形（的兩邊）；然後左右移動筆尖拉著線開始作圖，持續地使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了。
* 由於兩個固定點之間的距離也是一定的，所以可以省去綁在點上這一步驟而改將線綁成環狀，然後以筆尖和這兩個焦點將線繃直即可。下同。

== 概述 ==
[[File:Conicas1.PNG|right|thumb|一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。]]
椭圆是一种[[圆锥曲线]]：如果一个平面切截一个[[圆锥]]面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。

[[解析几何|在代数上说]]，椭圆是在[[笛卡尔平面]]上如下形式的方程所定义的[[曲线]]
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,</math>
使得 <math>B^2 < 4AC \,</math>，这里的係数都是实数，并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。

穿过两焦点并终止于椭圆上的[[线段]] AB 叫做'''长轴'''。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做'''短轴'''。'''[[半長軸]]'''（图中指示为 ''a''）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的，'''[[半短軸]]'''（图中指示为 ''b''）是短轴的一半。

如果两个焦点重合，则这个椭圆是[[圆]]；换句话说，圆是[[离心率]]为零的椭圆。

中心位于[[原点]]的椭圆 <math> A x^2 + B xy + C y^2 = 1 \,</math> 可以被看作[[单位圆]]在关联于[[对称矩阵]] <math>A^\prime =\begin{bmatrix}A & B/2\\B/2 & C\end{bmatrix} = PDP^T \,</math> 的[[线性映射]]下的图像，这里的 D 是带有 <math>A^\prime</math> 的[[特征值]]的[[对角矩阵]]，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有 <math>A^\prime</math> 的[[特征向量]]作为纵列的实数的[[酉矩阵]]。椭圆的长短轴分别沿着 <math>A^\prime</math> 的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是'''半长轴'''和'''半短轴'''的长度的平方的倒数。

椭圆可以通过对一个圆的所有点的 ''x'' 坐标乘以一个常数而不改变 ''y'' 坐标来生成。

== 离心率 ==
椭圆的形状可以用叫做椭圆的[[离心率]]的一个数来表达，习惯上指示为 <math>\varepsilon \,</math>。离心率是小于 1 大于等于 0 的实数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是[[圆]]。

对于有半长轴 ''a'' 和半短轴 ''b'' 的椭圆，离心率是
:<math>\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>
离心率越大，''a'' 与 ''b'' 的[[比率]]就越大，因此椭圆被更加拉长。 

[[半焦距]]''c'' 等于从中心到任一焦点的距离，则
:<math>\varepsilon = \frac{c}{a}</math>
距离 ''c'' 叫做椭圆的'''线性离心率'''。在两个焦点间的距离是 2''a''&epsilon;。

== 方程 ==
[[File:Parametric ellipse.gif|thumb|right|200px|在正規位置上的橢圓的參數方程。參數 ''t'' 是藍線對於 X-軸的角度。]]
中心位于点 <math>(h,k)</math> 的主轴平行于 ''x'' 轴的椭圆由如下方程指定

:<math>\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

这个椭圆可以参数化表达为
:<math>x = h+a\,\cos t,\,\!</math>
:<math>y = k+b\,\sin t\,\!</math>
这里的 <math>t</math> 可以限制于区间 <math>-\pi\leq t \leq \pi\,\!</math>。

如果 <math>h=0</math> 且 <math>k=0</math>（就是说，如果中心是原点(0,0))，则

:<math>x = a\,\cos t,\,\!</math>
:<math>y = b\,\sin t\,\!</math>
这个参数方程揭示了两个方向相互垂直的简谐运动(表现为具有周期性的简谐波)合成了闭合的椭圆形周期性运动（表现为轨迹是椭圆）。

:{|class="wikitable"
|椭圆方程
|<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)</math>
|<math>\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)</math>
|----
|图像
|
|
|----
|范围
|<math>-a\le x\le a,  -b\le y\le b</math>
|<math>-a\le y\le a,  -b\le x\le b</math>
|}

=== 相對於中心的極坐標形式 ===
用极坐标可表达为
:<math>\overline{CP} = r' = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \psi + b^2 \cos^2 \psi}}=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon^2 \cos^2 \psi}}</math> 
这里的 <math>\varepsilon</math> 是椭圆的离心率；<math>\psi</math> 是 <math>\overline{CB}</math> 与 <math>\overline{CP}</math> 的夹角

=== 相對於焦點的極坐標形式 ===
[[File:Ellipse Polar.svg|thumb|right|300px|橢圓的極坐標，原點在 F1]] 
有一个焦点在原点的椭圆的[[极坐标方程]]是
:<math>\overline{F_1P} = r = \frac{ a\cdot(1-\varepsilon^{2})}{1 - \varepsilon\cdot\cos\theta} </math>
这里的 <math>\theta</math> 是 <math>\overline{F_1B}</math> 与 <math>\overline{F_1P}</math> 的夹角

==== 半正焦弦和极坐标 ====
椭圆的半[[正焦弦]](通常指示为 <math>\ell\,\!</math>)，是从椭圆的一个焦点到椭圆自身，沿着垂直主轴的直线测量的距离。它有关于 <math>a\,\!</math> 和 <math>b\,\!</math>（椭圆的半轴），通过公式 <math>a\ell=b^2\,\!</math> 或者如果使用离心率的话 <math>\ell=a\cdot(1-\varepsilon^2)\,\!</math>。
:[[File:Elps-slr.svg|none|椭圆，使用半正焦弦展示]]
在[[极坐标]]中，一个焦点在原点而另一个焦点在负 ''x'' 轴上的椭圆给出自方程
: <math>r\cdot(1 + \varepsilon\cdot \cos \theta) = \ell \,\!</math>

椭圆可以被看作是圆的投影：在与水平面有角度 &phi; 的平面上的圆垂直投影到水平面上给出离心率 sin&nbsp;&phi; 的椭圆，假定 &phi; 不是 90°。

[[File:Ellipse as hypotrochoid.gif|250px|thumb|橢圓（用紅色繪制）可以表達為[[内旋轮线]]在 R=2r 時的特殊情況。]]

== 面积和周长 ==
椭圆所包围的面积是 <math>\pi ab \,</math>，这里的 <math> a \,</math>，和<math> b \,</math>，
是半长轴和半短轴。在圆的情况下<math> a=b \,</math>，表达式简化为 <math>\pi a^2 \,</math>。
椭圆的周长是 <math>4 a E(\frac{c}{a})</math>，这里的函数<math> E \,</math>是第二类完全[[椭圆积分]]。

周长为：<math>C= 4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt {1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 \sin^2\theta}\ {\rm{d}}\theta\!</math>或者<math> C= 4a\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2 t^2}}{\sqrt{1-t^2}}\ {\rm{d}}t.\!</math>

精确的[[无穷级数]]为：

:<math>C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2 \frac{c^2}{a^2} - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{c^4\over {3a^4}} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{c^6\over{5a^6}} - \dots}\right]\!\,</math>

或：

:<math>C = -2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace  \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {c^{2n}\over {{a^{2n}} \left(2n - 1 \right)}}\right\rbrace}</math>

[[拉马努金]]给出一个更为接近的式子：

:<math>C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>

它还可以写为：

:<math>C \approx 3a\pi \left[1+\sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right )^2}\right] - a\pi \sqrt{\left[3+ \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]\left[1+3 \sqrt{1-\left(\frac{c}{a}\right)^2}\right]} \!\,</math>

还有一条近似很高的公式：
:<math>C \approx \pi (a+b)\left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right]\left[1+\left(\frac{22}{7\pi} -1\right)\left( \frac{a-b}{a} \right)^{33}\sqrt[1000]{\left(\frac{a-b}{a}\right)^{697}}\right ]\!\,</math>

== 标准方程的推导 ==
* 如果在一个平面内一个'''动点'''到两个'''定点'''的[[距离]]的[[和]]等于定长，那么这个动点的[[轨迹]]叫做椭圆。

假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为<math>P(x,y) \,</math>，两个定点为<math>F_1(-c,0) \,</math>和<math>F_2(c,0) \,</math>，则根据定义，动点<math>P</math>的轨迹方程满足（定义式）：
:<math>|PF_1|+|PF_2|=2a (a>0) \,</math>，其中<math>2a \,</math>为定长。
用两点的距离公式可得：<math>|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2} \,</math>，<math>|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,</math>，代入定义式中，得：
:<math>\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} \,</math>
整理上式，并化简，得：
:<math>(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2) \,</math> ①
当<math>a>c \,</math>时，并设<math>a^2-c^2=b^2 \,</math>，则①式可以进一步化简：
:<math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \,</math> ②
因为<math>a^2b^2>0 \,</math>，将②式两边同除以<math>a^2b^2 \,</math>，可得：
:<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \,</math>
则该方程即动点<math>P</math>的轨迹方程，即椭圆的方程。这个形式也是'''椭圆的标准方程'''。

* 椭圆的图像如果在[[直角坐标系]]中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了''x''轴。若将两个定点改在''y''轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准[[方程]]：
:<math>\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0) \,</math>
* 在方程中，所设的<math>2a \,</math>称为[[长轴]]长，<math>2b \,</math>称为[[短轴]]长，而所设的[[定点]]称为[[焦点]]，那么<math>2c \,</math>称为[[焦距]]。在假设的过程中，假设了<math>a>c \,</math>，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当<math>a=c \,</math>时，这个动点的轨迹是一个[[线段]]；当<math>a<c \,</math>时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为[[虚椭圆]]。另外还要注意，在假设中，还有一处：<math>a^2-c^2=b^2 \,</math>。
* 通常认为[[圆]]是椭圆的一种特殊情况。

== 椭圆的旋转和平移 ==
对于平面上任意椭圆 <math> A x^2 + 2B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,</math>，我们总可以将之转化为
:<math>A(x-u)^2 + 2B(x-u)(y-v) + C(y-v)^2 + f = 0 \,</math> 
的形式。具体步骤为，将后式的各乘积乘方项展开，根据与前式对应项係数相等的法则便可求得u,v,f的值。其中，<math>(u,v) \,</math>便是该椭圆的中心（f=0）。

若将
:<math>x=x^\prime - u </math>
:<math>y=y^\prime - v </math>
带入式中便可得到平移前的椭圆。

若<math>B\ne 0</math>，则表示椭圆的长短轴与坐标系的坐标轴并不平行或垂直，即发生了旋转。设旋转的角度为<math>\displaystyle \varphi</math>，则有
:<math>\displaystyle  tan(2 \varphi)=\frac{2B}{A-C}</math> 当<math>A-C=0</math>，则说明<math>\varphi=\pm \frac{\pi}{4}</math>

若将
:<math>x=x^\prime \cos \varphi - y^\prime \sin \varphi</math>
:<math>y=y^\prime \cos \varphi + x^\prime \sin \varphi</math>
带入式中便可得到旋转前的椭圆。

== 漸開線及其導數 ==
:<math>
\begin{cases}
  x=a\cos t+\cfrac{abE\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
  \\
  y=b\sin t+\cfrac{b^2E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\cos t}{\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}\!\, \\
\end{cases}</math>



:<math>
\begin{cases}
\cfrac{{\rm{d}}x}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^2\sin 2t-2b^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}-a\sin t\!\, \\
\\

\cfrac{{\rm{d}}y}{\rm{d}t}=\cfrac{\left[b^3\sin 2t-2ab^2\sin t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\right]\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)-ab^2\left(a^2-b^2\right)\sin 2t\cdot E\left(t,\cfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\sin t}{2a\left(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\right)\sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2t}}+b\cos t\!\, \\
\end{cases}</math>

有了橢圓漸開線的導數我們可以計算它的長度，其中<math>E\left(t,\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right)\,</math>是第二類完全[[橢圓積分]]。

== 参见 ==
* [[圆锥曲线]]
* [[开普勒定律]]
* [[類球面]]
* [[橢球坐標系]]
* [[椭圆规]]
* [[超橢圓]]
*[[椭球體]]
*[[三-椭圆形]]

== 外部链接 ==
* [http://shc2000.sjtu.edu.cn/0409/mingmoq.htm 明末清初西方椭圆知识在中国的传播]

{{几何术语}}

[[Category:曲线]]
[[Category:圆锥曲线]]