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{{无穷级数}}
'''極限比較審斂法'''是判別[[级数]]斂散性的一種方法。

== 描述 ==

假设存在两个级数<math> \Sigma_n a_n </math>与<math>\Sigma_n b_n</math>，且对于任意<math> n</math>都有<math> a_n, b_n \geq 0 </math>。

如果<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c</math>（<math> 0 < c < \infty </math>），那么两级数同时收敛或发散。

== 证明 ==

对<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c</math>，我们知道对于任意<math> \varepsilon > 0 </math>都存在一正整数<math>n_0</math>使得当<math>n \geq n_0 </math> 时有<math> \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right| < \varepsilon </math>，等价于

: <math> - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} - c < \varepsilon </math>

: <math> c - \varepsilon < \frac{a_n}{b_n} < c + \varepsilon </math>

: <math> (c - \varepsilon)b_n < a_n < (c + \varepsilon)b_n </math>
由于<math> c > 0 </math>，我们可以让<math> \varepsilon </math>足够小使得<math> c-\varepsilon </math>为正。
因此<math> b_n < \frac{1}{c-\varepsilon} a_n </math>，根据[[比较审敛法]]，如果<math>\sum_n a_n</math>收敛，则<math>\sum_n b_n </math>同样收敛。

类似地，<math> a_n < (c + \varepsilon)b_n </math>，如果<math> \sum_n b_n </math>收敛，根据比较审敛法，<math>\sum_n a_n </math>亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

==例子==

判断<math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n} </math>是否收敛。我们将其与收敛级数<math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} </math>进行比较。

由于<math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0 </math>，我们可以得出原级数收敛。

==参见==
* [[审敛法]]
* [[比较审敛法]]

==参考来源==
* Rinaldo B. Schinazi: ''From Calculus to Analysis''. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. [https://books.google.de/books?id=VybcUbhGvjsC&pg=PA50 50]
* Michele Longo and Vincenzo Valori: ''The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series''. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp.&nbsp;205–210 ([http://www.jstor.org/stable/27642937 JSTOR])
* J. Marshall Ash: ''The Limit Comparison Test Needs Positivity''. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp.&nbsp;374–375 ([http://www.jstor.org/stable/pdf/10.4169/math.mag.85.5.374.pdf JSTOR])

== 外部链接 ==
* [http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/SeriesCompTest.aspx Pauls Online Notes on Comparison Test ]

[[Category:审敛法]]
[[Category:包含证明的条目]]