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[[Image:Discrete probability distrib.svg|thumb|一个概率质量函数的图像。函数的所有值必须非负，且总和为1。]]
在[[概率论]]中，'''概率质量函数'''（probability mass function，简写为'''pmf'''）是[[离散随机变量]]在各特定取值上的概率。'''概率质量函数'''和[[概率密度函数]]不同之处在于：概率质量函数是对[[离散随机变量]]定义的，本身代表该值的概率；概率密度函数是对[[连续随机变量]]定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的[[概率密度函数]]在某区间内进行[[积分]]后才是概率。

==数学定义==

假设''X''是一个定义在[[可数]][[样本空间]]''S''上的离散随机变量 ''S'' ⊆ '''R'''，则其'''概率质量函数''' ''f''<sub>''X''</sub>(''x'') 为
:<math>f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), &x\in S,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash S.\end{cases}</math>
注意这在所有[[实数]]上，包括那些''X''不可能等于的实数值上，都定义了 ''f''<sub>''X''</sub>(''x'')。在那些''X''不可能等于的实数值上， ''f''<sub>''X''</sub>(''x'')取值为0 ( ''x'' ∈ '''R'''\''S''，取Pr(''X'' = ''x'') 为0)。

[[离散随机变量]]'''概率质量函数'''的不连续性决定了其[[累积分布函数]]也不连续。

==例子==

假设''X''是抛硬币的结果，反面取值为0，正面取值为1。则在状态空间{0, 1}(这是一个[[伯努利分布|伯努利(Bernoulli)随机变量]])中，''X'' = ''x''的概率是0.5，所以'''概率质量函数'''是
:<math>f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\}, \\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}</math>

'''概率质量函数'''可以定义在任何[[离散随机变量]]上，包括[[离散型均匀分布|常数分布]], [[二项分布]]（包括[[伯努利分布|伯努利(Bernoulli)分布]]）, [[负二项分布]], [[泊松分布|泊松(Poisson)分布]], [[几何分布]]以及[[超几何分布]]随机变量上.

{{概率分布理论}}

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