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{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:協方差;zh-tw:共變異數;zh-hk:協方差;
|2=zh-cn:总体;zh-tw:母體;zh:母體;
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{{Redirect4|-{均方差}-|均方誤差（MSE）|均方誤差|均方根誤差（RMSE）|均方根誤差}}
{{Not|標準誤差}}
'''標準差'''（又稱標準偏差、-{均方差}-，{{Lang-en|'''S'''tandard '''D'''eviation}}，縮寫{{lang|en|'''SD'''}}），數學符號{{lang|el|'''[[σ]]'''}}（sigma），在[[概率]][[統計]]中最常使用作為[[測量]]一組數值的[[離散程度]]之用。標準差定義：為[[方差]]開[[算术平方根]]，反映组内個體間的離散程度；標準差與[[期望值]]之比為[[標準離差率]]。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：
# 為非負數值（因為開平方後再做平方根）；
# 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個[[隨機變量]]的標準差，及一個[[子集合]]樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由[[卡爾·皮爾遜]]引入到統計中。

== 闡述及應用 ==
簡單來說，標準差是一組數值自[[平均值]]分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的[[集合_(数学)|集合]]{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差k个标准差”，即在 {{lang|el|'''X̄ ± kS'''}} 的[[樣本 (統計學)|样本]]（Sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在[[物理]][[科學]]中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的[[精確度]]。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於[[投資]]上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

== 母體的標準差 ==
=== 基本定義 ===
:<math>\ SD= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math>
<math>\mu</math>为平均值（<math>\overline{x}</math>）。

簡易口訣：離均差平方的平均；方均根。

=== 简化计算公式 ===
上述公式可以如下代換而簡化：

:<math>\begin{align}
\sum_{i=1}^N (X_i - \mu)^2 & = {} \sum_{i=1}^N (X_i^2 - 2 X_i\mu + \mu^2) \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \left(2 \mu \sum_{i=1}^N X_i\right) + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2 \mu (N\mu) + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - 2N\mu^2 + N\mu^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - N\mu^2
\end{align}</math>

所以：
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (X_i - \mu)^2}</math>
::<math> = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N X_i^2\right) - \frac{1}{N}N\mu^2} </math>
::<math> = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^N X_i^2}{N}  - \mu^2 }</math>

根號裡面，亦即[[變異數]]（<math>\sigma^2</math>）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

=== 母體為随机变量 ===
一[[隨機變量]]<math>X</math>的標準差定義為：

:<math>\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}</math>

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在[[期望值]]。
如果隨機變量<math>X</math>為<math>x_1, \cdots, x_n</math>具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

==== 離散随机变量的标准差 ====
若<math>X</math>是由[[實數]]<math>x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}</math>構成的[[随机变量|離散隨機變數]]（{{Lang-en|discrete random variable}}），且每個值的'''機率相等'''，則<math>X</math>的標準差定義為：

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}</math>　，其中　<math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math>

換成用<math>\sum</math>來寫，就成為：

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math>　，其中　<math> \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)</math>

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個<math>x_i</math>可以有'''不同機率'''<math>p_i</math>，則<math>X</math>的标准差定義為：

:<math>\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}</math>　，其中　<math>\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.</math>
这里，<math>\mu</math>为<math>X</math>的数学期望。

==== 连续随机变量的标准差 ====
若<math>X</math>為概率密度<math>p(X)</math>的[[随机变量|连续随机变量]]（{{Lang-en|continuous random variable}}），則<math>X</math>的标准差定義為：

:<math>\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}</math>
其中<math>\mu</math>为<math>X</math>的数学期望：
:<math>\mu = \int x \, p(x) \, dx</math>

=== 标准差的特殊性质 ===
对于常数<math>c</math>和随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>：

:<math>\sigma(X+c)=\sigma(X)</math>
:<math>\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)</math>
:<math>\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}</math>
::其中：
::*<math>\mbox{cov}(X,Y)</math>表示随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>的[[协方差]]。
::*<math> \sigma^2(X) </math>表示<math> [ \sigma(X) ]^2 </math>，即<math>Var(X)</math>（<math> X </math>的變異數），對<math> Y </math>亦同。

== 样本的标准差 ==
在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值<math>X_1, \cdots, X_N</math>當中取出一樣本數值組合<math>x_1, \cdots, x_n : n < N</math>，常定義其'''樣本標準差'''：

:<math>
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}
</math>

样本方差<math>s^2</math>是对总体[[方差]]<math>\sigma^2</math>的[[无偏估计]]。之所以<math>s</math>中的分母要用<math>n-1</math>而不是像总体样本差那样用<math>n</math>，是因为<math>\left( x_i - \bar{x} \right)</math>的[[自由度 (统计学)|自由度]]为<math>n - 1</math>，这是由于存在约束条件<math>\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0</math>。

== 範例 ==
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }：

*第一步，計算平均值<math>\overline{x}</math>︰

:<math>\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i</math>

:當<math>\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}</math>（因為集合裏有4個數），分別設為：

::<math>
\begin{align}
x_1 &= 5 \\
x_2 &= 6 \\
x_3 &= 8 \\
x_4 &= 9 \\
\end{align}
</math>

:<math>\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i</math><math>(N = 4)</math>

:<math>\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right ) </math>

:<math>\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right ) </math>

:<math>\overline{x}= 7</math>（此為平均值）

*第二步，計算標準差<math>\sigma\,</math>︰

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}</math><math>(N = 4)</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}</math><math>(\overline{x} = 7)</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }</math>

:<math>\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}</math>

:<math>\sigma \approx 1.58114\,\!</math>（此為標準差）.

== 常態分佈的規則 ==
{{main|常態分佈}}
[[File:Standard deviation diagram.svg|thumb|350px|深藍區域是距[[平均值]]小於一個標準差之內的數值範圍，在[[常態分佈]]中，此範圍所佔比率為全部數值之'''68%'''；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為'''95%'''；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為'''99.7%'''。]]

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於[[常態分佈]]的機率分佈。若其假設正確，則約'''68%'''數值分佈在距離平均值有'''1個標準差'''之內的範圍，約'''95%'''數值分佈在距離平均值有'''2個標準差'''之內的範圍，以及約'''99.7%'''數值分佈在距離平均值有'''3個標準差'''之內的範圍。稱為「'''[[68–95–99.7原則|68-95-99.7法則]]'''」。

:<math>f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }
</math>

: <math> \text{Proportion} = \operatorname{erf}\left(\frac z {\sqrt 2}\right)</math>

: <math> \text{Proportion} \le x = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac z {\sqrt{2}} \right)\right]</math>.<ref>{{cite web |url= http://mathworld.wolfram.com/DistributionFunction.html |author= Eric W. Weisstein |title= Distribution Function |publisher= MathWorld—A Wolfram Web Resource |accessdate= 2014-09-30}}</ref>

[[File:Confidence interval by Standard deviation.svg|thumb|Percentage within(''z'')]]
[[File:Standard deviation by Confidence interval.svg|thumb|''z''(Percentage within)]]
{{anchor|Table}}
{| class="wikitable" style="font-size:&nbsp;"
|-
! rowspan=2 | 數字比率<br/>標準差值
! 機率
! colspan=2 | 包含之外比例
|-
! 百分比
! 百分比
! 比例
|-
|0.318 639''σ''
|25%
|75%
|3 / 4
|-
|0.318 639''σ''
|25%
|75%
|3 / 4
|-
| {{val|0.674490}}''σ''
| {{val|50}}%
| {{val|50}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|2}}
|-
| {{val|0.994458}}''σ''
| 68%
| 32%
| 1&nbsp;/&nbsp;3.125
|-
| 1''σ''
| {{val|68.2689492}}%
| {{val|31.7310508}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|3.1514872}}
|-
| {{val|1.281552}}''σ''
| 80%
| 20%
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|-
| {{val|1.644854}}''σ''
| 90%
| 10%
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|-
| {{val|1.959964}}''σ''
| 95%
| 5%
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|-
| 2''σ''
| {{val|95.4499736}}%
| {{val|4.5500264}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|21.977895}}
|-
| {{val|2.575829}}''σ''
| 99%
| 1%
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|-
| 3''σ''
| {{val|99.7300204}}%
| {{val|0.2699796}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;370.398
|-
| {{val|3.290527}}''σ''
| 99.9%
| 0.1%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000}}
|-
| {{val|3.890592}}''σ''
| 99.99%
| 0.01%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000}}
|-
| 4''σ''
| {{val|99.993666}}%
| {{val|0.006334}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|15787}}
|-
| {{val|4.417173}}''σ''
| 99.999%
| 0.001%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000}}
|-
| {{val|4.5}}''σ''
| {{gaps|99.999|320|465|3751%}}
| {{gaps|0.000|679|534|6249%}}
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|147159.5358}}<br>3.4&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}} (''每一邊'')
|-
| {{val|4.891638}}''σ''
| {{val|99.9999}}%
| {{val|0.0001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000}}
|-
| 5''σ''
| {{val|99.9999426697}}%
| {{val|0.0000573303}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1744278}}
|-
| {{val|5.326724}}''σ''
| {{val|99.99999}}%
| {{val|0.00001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000}}
|-
| {{val|5.730729}}''σ''
| {{val|99.999999}}%
| {{val|0.000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000}}
|-
| [[六標準差#西格玛等级|{{val|6}}''σ'']]
| {{val|99.9999998027}}%
| {{val|0.0000001973}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|506797346}}
|-
| {{val|6.109410}}''σ''
| {{val|99.9999999}}%
| {{val|0.0000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|1000000000}}
|-
| {{val|6.466951}}''σ''
| {{val|99.99999999}}%
| {{val|0.00000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|10000000000}}
|-
| {{val|6.806502}}''σ''
| {{val|99.999999999}}%
| {{val|0.000000001}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|100000000000}}
|-
| 7''σ''
| {{gaps|99.999|999|999|7440%}}
| {{val|0.000000000256}}%
| 1&nbsp;/&nbsp;{{val|390682215445}}
|}

== 標準差與平均值之間的關係 ==
一組數據的[[平均值]]及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对[[机率分布|统计的分散度]]的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設<math>X_1, \cdots, X_N</math>為[[實數]]，定義[[函数]]：

:<math>\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}</math>

使用[[微積分]]或者通过[[配方法]]，不難算出<math>\sigma(\mu)</math>在下面情況下具有唯一最小值：

:<math>\mu = \overline{x}</math>

== 几何学解释 ==
从[[几何学]]的角度出发，标准差可以理解为一个从<math>n</math>维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，<math>X_1, X_2, X_3</math>。它们可以在3维空间中确定一个[[点]]<math>P = (X_1, X_2, X_3)</math>。想像一条通过原点的[[直线]]<math>L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}</math>。如果这组数据中的3个值都相等，则点<math>P</math>就是直线<math>L</math>上的一个点，<math>P</math>到<math>L</math>的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点<math>P</math>作[[垂直|垂线]]<math>PR</math>垂直于<math>L</math>，<math>PR</math>交<math>L</math>于点<math>R</math>，则<math>R</math>的坐标为这3个值的平均数：

:<math>R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math>

运用一些代数知识，不难发现点<math>P</math>与点<math>R</math>之间的距离（也就是点<math>P</math>到直线<math>L</math>的距离）是<math>\sigma \sqrt{3}</math>。在<math>n</math>维空间中，这个规律同样适用，把<math>3</math>换成<math>n</math>就可以了。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20131022135203/http://invsee.asu.edu/srinivas/stdev.html Standard Deviation Calculator]，标准差计算器 {{en}}

{{-}}
{{概率分布理论}}
{{统计学}}
{{技术分析}}

{{Authority control}}

[[Category:概率与统计]]
[[Category:技術分析]]