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{{需要專家關注|subject=數學||date=2017-10-06}}

在[[機率論]]和[[統計學]]中，一個[[機率分布]]的'''標準矩'''是經過[[标准化 (统计学)|標準化]]後的[[中心矩]]（通常是較高階的中心矩）。標準化通常是將其除以[[標準差]]的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和[[離散程度]]皆能保持一致， 在比較不同機率分布的形狀時更為方便。<ref>{{Template:Cite book|url=https://books.google.com/books?id=q1clOAAACAAJ|title=The Elements of Statistics: With Applications to Economics and the Social Sciences|last=Ramsey|first=James Bernard|last2=Newton|first2=H. Joseph|last3=Harvill|first3=Jane L.|date=2002-01-01|publisher=Duxbury/Thomson Learning|isbn=9780534371111|pages=96|language=en|chapter=CHAPTER 4 MOMENTS AND THE SHAPE OF HISTOGRAMS|chapter-url=http://www.econ.nyu.edu/user/ramseyj/textbook/viewtext.htm}}</ref>

== 定義 ==
設<span>''X''</span>為一[[隨機變量]]，其[[機率密度函數]]為''f''、平均值為 <math display="inline">\mu = \mathrm{E}[X]</math> (一階[[矩 (數學)|原點矩]])，則第k階'''標準矩'''為<math>\frac{\mu_k}{\sigma^k}\!</math>，<ref>{{Template:Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/StandardizedMoment.html|title=Standardized Moment|last=W.|first=Weisstein, Eric|language=en|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2016-03-30}}</ref> 其中<math>\mu_k</math>是第k階[[中心矩]]：
: <math>\mu_k = \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^k \right]  = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\mathrm{d} x</math>
<math>\sigma^k</math>為[[標準差]]的k次方：
: <math>\sigma^k = \Bigl(\sqrt{\mathrm{E}[(X - \mu)^2]}\Bigr)^k</math>
以通式表示：
:<math>\hat{\mu}_k = \frac{\mu_k}{\sigma^k} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^k \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{k/2}}</math>

== 性質 ==
* 中心矩為k次[[齐次函数]]：<math>\mu_k(\lambda X) = \lambda^k \mu_k(X)</math>
* 標準矩具有[[縮放不變性]]。
* 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為[[无量纲量|无因次量]]。

== 常用的標準矩 ==
以下列出前4個標準矩：
{| class="wikitable"
!階數 ''k''
!定義
!說明
|-
|1
|<math>
\hat{\mu}_1 = \frac{\mu_1}{\sigma^1} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^1 \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{1/2}} = 0
</math>
|一階標準矩恆為0，
因為一階中心矩恆為0。
|-
|2
|<math>
\hat{\mu}_2 = \frac{\mu_2}{\sigma^2} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{2/2}} = 1
</math>
|二階標準矩恆為1，
因為二階中心矩即為[[變異數]]<math>\sigma^2</math>。
|-
|3
|<math>
\hat{\mu}_3 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^3 \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{3/2}}
</math>
|三階標準矩用於定義[[偏度]]。
|-
|4
|<math>
\hat{\mu}_4 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{\operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^4 \right]}{( \operatorname{E} \left[ ( X - \mu )^2 \right])^{4/2}}
</math>
|四階標準矩用於定義[[峰度]]。
|}

== 參見 ==
* [[中心矩]]
* [[矩 (數學)|矩]]

== 參考資料 ==
<references />
[[Category:機率論]]