查看“模”的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{otheruses|subject=抽象代数中的概念|other=“模”的其他含义|模 (消歧义)}} 

在數學的[[抽象代數]]中，[[環]]上的'''模'''(module over a ring)的概念是對[[向量空間]]概念的推廣，這裡不再要求向量空間裡的[[純量]]的代數結構是[[域 (數學)|體]](field)，進而放寬純量可以是環(ring)。

因此，模同向量空間一樣是加法[[交换群]]；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的（在同環中的乘法一起用的時候）和分配律的。

模非常密切的關聯於[[群]]的[[群表示論|表示理論]]。它們還是[[交換代數]]和[[同調代數]]的中心概念，并廣泛的用于[[代數幾何]]和[[代數拓撲]]中。

==定義==
假設''R'' 是[[環]](ring)且1<sub>''R''</sub> ∈ ''R''，1<sub>''R''</sub> 是其乘法運算的單位元素，則'''左''R''-模'''包括一個[[阿貝爾群|交換群]]{{nowrap|(''M'', +)}}，以及一個映射(或運算){{nowrap|⋅ : ''R'' × ''M'' → ''M''}} (叫做標量乘法或數積，通常把此運算的值 {{nowrap|(''r'',''x'')}} 記作 ''rx'' 或是 {{nowrap|''r'' ⋅ ''x''}}，''r'' ∈ ''R'' 且 ''x'' ∈ ''M'' ) ，並且滿足以下條件

對所有''r'',''s'' ∈ ''R'', ''x'',''y'' ∈ ''M'', 
#<math> ( r \cdot s ) \cdot x = r \cdot ( s \cdot x ) </math>
#<math> r \cdot ( x + y ) = r \cdot x + r \cdot y </math>
#<math> ( r + s ) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x </math>
#<math> 1_R \cdot x = x .</math>

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素1<sub>''R''</sub>，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元(1<sub>''R''</sub> )的左模"。

一個左''R''-模''M'' 記作<sub>''R''</sub>''M''，類似的右''R''-模''M'' 記作''M''<sub>''R''</sub>。

一個'''右''R''-模'''''M''或''M''<sub>''R''</sub>與左''R''-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其數積是{{nowrap|⋅ : ''M'' × ''R'' → ''M''}}。在左''R''-模的定義中，環的元素''r'' 和''s'' 是在''M'' 的元素''x'' 的左邊。若''R'' 是[[可交換]]的，則左''R''-模與右''R''-模是一樣的，簡稱為''R''-模。

若''R'' 是一個[[域]]則''R''-模稱為[[向量空間]]。模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但通常沒[[基底]]。

== 例子 ==

*所有  可置換群 ''M''是一個在[[整數]]環'''Z'''的模，其數積是''nx'' = ''x'' + ''x'' + ... + ''x''（''n''個相加）對於''n'' > 0, 0''x'' = 0，以及(-''n'')''x'' = -(''nx'')對於''n'' < 0。
*若''R''是一個環而''n''是一個[[自然數]]，則 ''R''<sup>''n''</sup> 是一個''R''-模。
*若''M''是一個''光滑''[[流形]]，則由''M''至[[實數]]的光滑函数是一個環''R''。在''M''上的所有[[向量場]]組成一個''R''-模。
*所有 ''n''×''n'' [[實數]][[矩陣]] 組成一個環''R''。 [[歐幾里得空間]]'''R'''<sup>''n''</sup> 是一個左''R''-模，當中數積就是矩陣乘法。
*若''R''是一個環而''I''是其中一個 左[[理想 (環論)|理想]] ，則''I''是一個左''R''-模。

== 子模及同態 ==

假設''M''是左''R''-模兼''N''是''M''的[[子集]]。如果對於所有''n'' ∈ ''N''及''r'' ∈ ''R''，乘積''rn'' ∈ ''N''（若是右模，''nr''），則''N''是<sub>''R''</sub>''M''的'''子模'''（或更準確地，''R''-子集）。

若''M''和''N''是左''R''-模，若[[映射]] 
''f'' : ''M'' <tt>-></tt> ''N''有對所有''m, n'' ∈ ''M''及''r, s'' ∈ ''R''，''f''(''rm'' + ''sn'') = ''rf''(''m'') + ''sf''(''n'')，則稱[[映射]] 
''f''為'''''R''-模同態'''。像其他[[同態]]，模同態保存了模的結構。

== 其他定義及表達法 ==

若''M''是左''R''-模，則一個''R''中元素''r''之''作用''定義為映射''M'' → ''M''，它將每個''x''映至''rx''（或者在右模的情況是''xr''），這必然是阿貝爾群（''M'',+）的[[群同態|群自同態]]。全體''M''的自同態記作End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')，它在加法與合成下構成一環，而將''R''的元素''r''映至其作用則給出從''R''至End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')之同態。

如此的環同態''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')稱作''R''在阿貝爾群''M''上的一個''表示''。左''R''-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群''M''配上一個''R''的表示。

一個表示稱作''忠實''的，若且唯若''R'' → End<sub>'''Z'''</sub>(''M'')是[[單射]]。以模論術語來說，這意謂若''r''是''R''的元素，且使得對所有''M''中的''x''都有''rx''=0，則''r''=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環''Z''或其某一商環''Z/nZ''的忠實表示。

{{ModernAlgebra}}

[[Category:模論|M]]
[[Category:代数结构]]