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[[File:Elliptic_cylindrical_coordinates.png|thumb|right|200px|橢圓柱坐標系的幾個坐標曲面。紅色的橢圓柱面的 <math>\mu=1</math> 。藍色的薄平面的 <math>z=1</math> 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 <math>(2.182,\  - 1.661,\ 1)</math> 。包含於 xy-平面的橢圓與雙曲線的兩個焦點的直角坐標為 <math>x=\pm 2.0</math> 。]]
[[File:Elliptical coordinates grid.svg|thumb|right|200px|橢圓坐標系]]

'''橢圓柱坐標系'''（{{lang-en|Elliptic cylindrical coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]] 。往 z-軸方向延伸二維的[[橢圓坐標系]]，則可得到橢圓柱坐標系；其[[坐標曲面]]是共焦的[[橢圓|橢圓柱面]]與[[雙曲線|雙曲柱面]]。橢圓柱坐標系的兩個[[焦點]] <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> 的[[直角坐標系|直角坐標]]，分別設定為 <math>( - a,\ 0,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0,\ 0)</math> ，都處於[[直角坐標系]]的 x-軸。

==基本定義==
橢圓柱坐標 <math>(\mu,\ \nu,\ z)</math> 最常見的定義是

:<math>x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu</math> 、
:<math>y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu</math> 、
:<math>z = z</math> ；

其中，實數 <math>a>0</math> ，實數 <math>\mu\ge 0</math> ，弧度 <math>\nu \in [0, 2\pi)</math> ，坐標 z 是實數。

<math>\mu</math> 的等值曲線形成了[[橢圓]]，而 <math>\nu</math> 的等值曲線則形成了[[雙曲線]]：
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1</math> 、
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1</math> 。

==標度因子==
橢圓柱坐標 <math>\mu</math> 與 <math>\nu</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\mu}=h_{\nu}=a\sqrt{\sinh^{2}\mu+\sin^{2}\nu}</math> 、
:<math>h_{z}=1</math> 。

所以，無窮小體積元素等於
:<math>dV = a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu dz</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是 

:<math>\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}</math> 。

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用橢圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入[[正交坐標系|正交坐標]]條目內對應的一般公式。

==第二種定義==
有時候，會用到另外一種橢圓柱坐標系 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> ，其中， <math>\sigma = \cosh \mu</math> ，<math>\tau = \cos \nu</math> 。同樣地，<math>\sigma</math> 的等值曲線是橢圓，而 <math>\tau</math> 的等值曲線是雙曲線。在這裏， <math>\tau</math> 必須屬於區間 <math>[-1,\ 1]</math> ，而 <math>\sigma</math> 必須大於或等於 <math>1</math> 。

用橢圓柱坐標系，任何在 xy-平面上的點 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> ，其與兩個焦點的距離 <math>d_1</math> ，<math>d_2</math> 有一個很簡單的關係（回想兩個焦點 <math>F_1</math> 與 <math>F_2</math> 的坐標分別為 <math>( - a,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0)</math> ）：
:<math>d_{1}+d_{2}=2a\sigma</math> 、
:<math>d_{1} - d_{2}=2a\tau</math> 。

因此，
:<math>d_{1}=a(\sigma+\tau)</math> 、
:<math>d_{2}=a(\sigma - \tau)</math> 。

第二種橢圓柱坐標有一個缺點，那就是它與直角坐標並不保持[[一一對應]]關係：
:<math>x = a\sigma\tau</math> ，
:<math>y^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)</math> 。

==第二種標度因子==
第二種橢圓柱坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 的標度因子是
:<math>h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}</math> 、
:<math>h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}</math> 、
:<math>h_{z}=1</math> 。

所以，無窮小體積元素等於
:<math>dV = a^{2} \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau dz</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是 
:<math>\nabla^{2} \Phi =\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) }
\left[
\sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left( \sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + 
\sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left( \sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)
\right] + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}</math> 。

其它微分算子，例如 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 與 <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用第二種橢圓柱坐標表達，只需要將第二種標度因子代入[[正交坐標系|正交坐標]]條目內對應的一般公式。

==應用==
橢圓柱坐標最經典的用途是在解析像[[拉普拉斯方程]]或[[亥姆霍茲方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，橢圓柱坐標允許[[分離變數法]]的使用。擧一個典型的例題，有一塊寬度為 <math>2a</math> 的平板[[導體]]，請問其周圍的[[電場]]為什麼？應用橢圓柱坐標，我們可以有條不紊地分析這例題。

三維的[[波方程]]，假若用橢圓柱坐標來表達，則可以用分離變數法解析，形成了[[馬蒂厄微分方程]] ({{lang|en|Mathieu differential equation}}) 。

==參閱==
*[[拉普拉斯-龍格-冷次向量#保守性與對稱性|拉普拉斯-龍格-冷次向量]]

==參考文獻==
* {{cite book | author = Philip M. Morse, Herman Feshbach | date = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | id = ISBN 0-07-043316-X| pages = p. 657}}
* {{cite book | author = Henry Margenau, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York | pages = pp. 182–183 }}
* {{cite book | author = Korn GA. Korn TM |date = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 179}}
* {{cite book | author = Sauer R, Szabó I | date = 1967 | title = Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs | publisher = Springer Verlag | location = New York | pages = p. 97}}  
* {{cite book | author = Moon P, Spencer DE | date = 1988 | chapter = Elliptic-Cylinder Coordinates (η, ψ, z) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print ed. | publisher = Springer-Verlag | location = New York | pages = pp. 17–20 (Table 1.03) | isbn = 978-0387184302}}

{{正交坐標系}}

[[Category:坐标系|T]]