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[[File:Subderivative illustration.png|right|thumb|凸函数（蓝）和''x''<sub>0</sub>处的“次切线”（红）]]
'''次导数（subderivative）'''、'''次微分（subdifferential）'''、'''次切線（subtangent lines）'''和'''[[次梯度法|次梯度（subgradient）]]'''的概念出现在[[凸分析]]，也就是[[凸函数]]的研究中。 要注意的是，次切線（subtangent lines）和[[次切距|次切距（subtangent）]]是不同的。

设''f'':''I''→'''R'''是一个[[实数|实变量]]凸函数，定义在实数轴上的[[开区间]]内。这种函数不一定是处处[[可导]]的，例如[[绝对值]]函数''f''(''x'')=|''x''|。但是，从右面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何''x''<sub>0</sub>，我们总可以作出一条直线，它通过点(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>))，并且要么接触''f''的图像，要么在它的下方。这条直线的[[斜率]]称为函数的次导数。

==定义==
凸函数''f'':''I''→'''R'''在点''x''<sub>0</sub>的次导数，是实数''c''使得：
:<math>f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
对于所有''I''内的''x''。我们可以证明，在点''x''<sub>0</sub>的次导数的[[集合]]是一个[[空集|非空]][[闭区间]][''a'', ''b'']，其中''a''和''b''是[[单侧极限]]

:<math>a=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

:<math>b=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

它们一定存在，且满足''a'' ≤ ''b''。

所有次导数的集合[''a'', ''b'']称为函数''f''在''x''<sub>0</sub>的次微分。

==例子==

考虑凸函数''f''(''x'')=|''x''|。在原点的次微分是区间[&minus;1, 1]。''x''<sub>0</sub><0时，次微分是[[单元素集合]]{-1}，而''x''<sub>0</sub>>0，则是单元素集合{1}。

==性质==

* 凸函数''f'':''I''→'''R'''在''x''<sub>0</sub>可导，当且仅当次微分只由一个点组成，这个点就是函数在''x''<sub>0</sub>的导数。

* 点''x''<sub>0</sub>是凸函数''f''的[[最小值]]，当且仅当次微分中包含零，也就是说，在上面的图中，我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

==次梯度==

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果''f'':''U''→ '''R'''是一个实变量凸函数，定义在[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>内的[[凸集]]，则该空间内的向量''v''称为函数在点''x''<sub>0</sub>的次梯度，如果对于所有''U''内的''x''，都有：
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0)</math>

所有次梯度的集合称为次微分，记为&part;''f''(''x''<sub>0</sub>)。次微分总是非空的凸[[紧集]]。

==参见==
* [[弱导数]]

==参考文献==
* Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, ''Fundamentals of Convex Analysis'', Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.

[[Category:凸分析]]
[[Category:导数的推广]]
[[Category:最优化]]