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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{About|[[複分析]]中的歐拉公式|[[代数拓扑]]或者多面體的欧拉公式|欧拉示性数}}
{{E (数学常数)}}
'''歐拉公式'''（{{lang-en|Euler's formula}}，又稱'''尤拉公式'''）是[[複分析]]领域的公式，它将[[三角函数]]與[[复数_(数学)|複]][[指数函数]]关联起来，因其提出者[[莱昂哈德·欧拉]]而得名。欧拉公式提出，對任意[[实数]] <math>x</math>，都存在

: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

其中 <math>e</math> 是[[E_(数学常数)|自然对数的底数]]，<math>i</math> 是[[虚数單位]]，而 <math>\cos</math> 和 <math>\sin</math> 則是餘弦、正弦對應的[[三角函数]]，参数 <math>x</math> 則以[[弧度]]为单位。這一複數指數函數有時還寫作 {{math|[[Cis函數|cis]] ''x''}} （{{lang-en|'''c'''osine plus '''i''' '''s'''ine}}，余弦加''i'' 乘以正弦）。由於該公式在 <math>x</math> 為[[複數]]時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為欧拉公式<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>。

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家[[理查德·费曼]]将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>。

当 <math>x = \pi</math> 时，欧拉公式变为 <math>e^{i \pi}+1=\,</math>{{#invoke:Complex Number/Calculate|calculate|exp(1)^(i*pi)+1|class=cmath|use math=yes}}，即[[欧拉恒等式]]。

== 历史 ==
[[約翰·白努利]]注意到有<ref>{{cite journal|first=Johann |last=Bernoulli |title=Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul |trans-title=Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation |journal=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris |pages=197–289 |volume=1702 |date=1702}}</ref>

: <math>\frac{1}{1 + x^2} = \frac12 \left( \frac{1}{1 - ix} + \frac{1}{1 + ix}\right).</math>

并且由于

: <math>\int \frac{dx}{1 + ax} = \frac{1}{a} \ln(1 + ax) + C,</math>

上述公式通过把自然对数和复数（虚数）联系起来，告诉我们关于[[複對數]]的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。

欧拉也知道上述方程，伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。

与此同时，{{tsl|en|Roger Cotes|罗杰·柯特斯}}于 1714 年发现<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>

: <math>ix = \ln(\cos x + i\sin x).</math>

由于三角函数的周期性，一个复数可以加上 {{math|2''i''π}} 的不同倍数，而它的复对数可以保持不变。

1740 年左右，欧拉把注意力从对数转向指数函数，得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到，于1748 年发表<ref>[[Leonard Euler]] (1748) [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch8vol1.pdf Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle] of [[Introduction to the Analysis of the Infinite]], page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).</ref><ref name="Stillwell"/>。

大约 50 年之后，[[卡斯帕尔·韦塞尔]]提出可以把复数視做[[复平面]]中的点。

== 形式 ==
{{see also|欧拉恒等式}}
[[File:Euler's formula.svg|thumb|200px]]
对于任意实数<math>x\,</math>，以下等式恆成立：
:<math>e^{ix} = \cos x+i\sin x</math>
由此也可以推导出
<math> \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>及<math> \cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} </math>。当<math>x=\pi\,</math>时，欧拉公式的特殊形式为<math> e^{i \pi} + 1 = 0\,</math>。

== cis函數 ==
{{main|Cis函數}}
在複分析領域，[[歐拉公式]]亦可以以[[函數]]的形式表示
:<math>\operatorname{cis} \theta = \cos \theta+i\sin \theta</math>
:<math>\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}</math>
並且一般[[定義域]]為<math>\theta \in \mathbb{R}\,</math>，值域為<math>\theta \in \mathbb{C}\,</math>（复平面上的所有单位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是[[輻角]]（[[arg函數]]）。

當<math>\theta</math>值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將[[歐拉公式]]推廣到更複雜的版本。<ref>{{cite book | first=Martin A. | last= Moskowitz | title=A Course in Complex Analysis in One Variable | publisher=World Scientific Publishing Co. | year=2002 | isbn=981-02-4780-X | pages=7}}</ref>

== 证明 ==
;方法一：[[泰勒级数]]
:把函数<math> e^x \,</math>、<math> \cos x\, </math>和<math> \sin x\,</math>写成泰勒级数形式：
::<math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots</math>
::<math>\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots</math>
::<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots</math>
:将<math>x=iz\,</math>代入<math> e^x \,</math>可得：
::<math>
\begin{align}
e^{iz} & = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
 & = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
& = \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
& = \cos z + i\sin z
\end{align}
</math>

;方法二：[[求導法]]
对于所有<math>x \in I</math>，定義函數<math>f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}</math>

由於<math>e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1</math>

可知<math>e^{ix}\,</math>不可能為0，因此以上定義成立。

<math>f(x)\,</math>之导数為：
:<math>
\begin{align}
 f'(x)& = \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
      & = 0
\end{align}
</math>
设<math>[a,b] \in I</math>和<math>c \in (a,b)</math>
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>（[[拉格朗日中值定理]]）
:<math>\because f'(x)=0</math>
:<math>\therefore f'(c)=0</math>
:<math>f(a)=f(b)</math>
因此<math>f(x)\,</math>必是[[常數函數]]。
:<math>f(x)=f(0)</math>
:<math></math>
:<math>\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}} =\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0} =1</math>
重新整理，即可得到：
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

;方法三：[[微積分]]
找出一個函數，使得<math>\frac{dy}{dx}=iy</math>及<math>f(0)=1</math>
:<math>\frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}=iy</math>
:<math>\begin{align}\frac{d}{dx}(\cos x+i \sin x) &= -\sin x + i \cos x \\ & =i (i \sin x +  \cos x) \\ &=iy\end{align}</math>
:<math>e^{i0}=e^{0}=1</math>
:<math>\cos0 +i\sin 0=1+i(0)=1</math>

如果使用積分法，<math>iy</math>的原函數是以上兩個函數。

<math>x=0</math>時，原函數的值相等，所以以上兩個函數相等。
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>

==證明和角公式==
由於<math>e^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha</math>且<math>e^{i \beta}=\cos \beta+i \sin \beta</math>，則有
:<math>
\begin{align}
e^{i (\alpha+\beta)}&=\cos (\alpha+ \beta)+i\sin (\alpha+ \beta) =e^{i \alpha+i \beta}\\
                               &=e^{i \alpha} \times e^{i \beta}\\
                               & =(\cos  \alpha + i\sin \alpha) \times (\cos  \beta + i\sin \beta)\\
                               & =(\cos \alpha \times \cos \beta+i\sin \alpha \times i\sin \beta)+(i\sin \alpha \times \cos \beta+\cos \alpha \times i\sin \beta)\\
                               & =(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\\   
\end{align}
</math>

實部等於實部，虛部等於虛部，因此
:<math>\cos (\alpha+ \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha+ \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta</math>

== 在複變分析的應用 ==
這公式可以說明當<math>x</math>為[[實數]]時，函數<math>e^{ix}</math>可在[[複數]]平面描述一[[單位圓]]。且<math>x</math>為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用[[笛卡尔坐标系]]描述，歐拉公式在此提供複點至[[極坐標]]的變換

任何複數<math>z=x+yi</math>皆可記為

:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,</math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,</math>

在此
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math>為實部
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math>為虛部
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}</math>為''z''的[[模]]
:<math>\phi = \mathrm{atan2}{(y,x)}</math>，其中<math>\mathrm{atan2}{(y,x)}= \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
-\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y < 0 , x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}</math>

== 參見 ==
* [[cis函數]]
* [[歐拉恆等式]]

==参考资料==
{{Reflist}}

[[Category:数学公式]]
[[Category:复分析|O]]
[[Category:三角学]]
[[Category:数学小作品]]