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{{NoteTA|G1=物理学}}

:<small>本条目讨论[[流体动力学]]。对于其它意义的欧拉方程，参看[[欧拉方程]]。</small>

在[[流體動力學]]中，'''歐拉方程'''是一組支配無[[黏性]]流體運動的方程，以[[萊昂哈德·歐拉]]命名。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無[[熱傳導]]項的[[納維－斯托克斯方程]]。歷史上，只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”<ref>Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4</ref>。

跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“[[守恆定律|守恆]]形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程可被用於[[可壓縮流|可壓縮性]]流體，同時也可被用於[[非壓縮流|非壓縮性]]流體——這時應使用適當的[[狀態方程]]，或假設[[流速]]的[[散度]]為零。

本條目假設[[經典力學]]適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見[[相對論性歐拉方程]]。

==歷史==

第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批[[偏微分方程]]。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程及[[連續性方程]]，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，[[皮埃爾-西蒙·拉普拉斯]]添加了一條方程，第三條方程後來被稱為[[絕熱過程|絕熱條件]]。

在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了[[狹義相對論]]之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成[[應力-能量張量]]這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——[[四維動量|能量-動量張量]]<ref name=Christodoulou>{{cite journal|doi=10.1090/S0273-0979-07-01181-0|last=Christodoulou|first=Demetrios|title=The Euler Equations of Compressible Fluid Flow|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=44|issue=4|url=http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01181-0/S0273-0979-07-01181-0.pdf|accessdate=June 13, 2009|pages= 581–602|date=October 2007}}</ref>。

==守恆形式（分量）==

以下是用[[微分形式]]寫成的歐拉方程：
:<math>
\begin{align}
&{\partial\rho\over\partial t}+
\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex]
&{\partial\rho{\mathbf u}\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf \mathbf u))+\nabla p=0\\[1.2ex]
&{\partial E\over\partial t}+
\nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0,
\end{align}
</math>

其中
*''ρ''為流體的[[質量密度]]；
*'''u''' 為流體[[速度]][[向量]]，分量為''u''、''v''及''w''；
*''E = ρ e + ½ ρ ( u<sup>2</sup> + v<sup>2</sup> + w<sup>2</sup> )''為每一單位[[容量]]所含的總[[能量]]，其中''e''為流體每一單位容量所含的[[內能]]；
*''p''為壓力；
*''<math>\otimes</math>''代表[[張量積]]。
第二條方程包含了一[[并矢積]]的[[散度]]，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：
:<math>
{\partial(\rho u_j)\over\partial t}+
\sum_{i=1}^3
{\partial(\rho u_i u_j)\over\partial x_i}+
{\partial p\over\partial x_j}
=0,
</math>
其中i及j下標各代表[[直角座標系]]的三個分量：''( x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub> , x<sub>3</sub> ) = ( x , y , z )''及''( u<sub>1</sub> , u<sub>2</sub> , u<sub>3</sub> ) = ( u , v , w )''。

注意以上方程是用[[守恆定律|守恆形式]]的，而守恆形式強調的是方程的物理起因（因此在[[計算流體力學]]中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示：

:<math>
\rho\left(
\frac{\partial}{\partial t}+{\mathbf u}\cdot\nabla
\right){\mathbf u}+\nabla p=0
</math>

但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程與[[牛頓第二運動定律]]的直接關聯。

==守恆形式（向量）==

以下是用[[向量]]及守恆形式寫成的歐拉方程：
:<math> 
\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}+
\frac{\partial \mathbf f_x}{\partial x}+
\frac{\partial \mathbf f_y}{\partial y}+
\frac{\partial \mathbf f_z}{\partial z}=0,
</math>

其中

:<math>
{\mathbf m}=\begin{pmatrix}\rho  \\  \rho u  \\  \rho v  \\ \rho w  \\E\end{pmatrix};
</math>

:<math>
{\mathbf f_x}=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\  \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix};\qquad
{\mathbf f_y}=\begin{pmatrix}\rho v\\  \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix};\qquad
{\mathbf f_z}=\begin{pmatrix}\rho w\\  \rho uw \\  \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.
</math>

在這個形式下，不難看出'''f'''''<sub>x</sub>''、'''f'''''<sub>y</sub>''及'''f'''''<sub>z</sub>''是通量。

以上方程分別代表[[質量守恆定律|質量守恆]]、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程，六個未知數。封閉系統需要一條[[狀態方程]]；最常用的是理想氣體定律（即''p&nbsp;=&nbsp;ρ&nbsp;(γ−1)&nbsp;e''，其中''ρ''為密度，''γ''為[[絕熱指數]]，''e''為內能）。

注意能量方程的奇特形式；見[[藍金-雨果尼厄方程]]。附加含''p''的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。

取[[流線]]上歐拉方程的積分，假設密度不變，及狀態方程具有足夠的剛性，可得有名的[[伯努利定律]]。

==非守恆形式（通量雅可比矩陣）==

在構建[[數值分析|數值解]]，例如求[[雷曼問題]]的[[近似]]解的時候，展開[[通量]]可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程，展開其通量可得非守恆形式如下：

:<math>
\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}
+ \mathbf A_x \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} 
+ \mathbf A_y \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} 
+ \mathbf A_z \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} 
= 0.
</math>

其中'''A'''<sub>''x''</sub>、'''A'''<sub>''y''</sub>及'''A'''<sub>''z''</sub>為通量[[雅可比矩陣]]，各[[矩陣]]為：

:<math>
  \mathbf A_x=\frac{\partial \mathbf f_x(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad
  \mathbf A_y=\frac{\partial \mathbf f_y(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad
  \mathbf A_z=\frac{\partial \mathbf f_z(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}.
</math>

上式中這些通量雅可比矩陣'''A'''<sub>''x''</sub>、'''A'''<sub>''y''</sub>及'''A'''<sub>''z''</sub>，還是狀態向量'''m'''的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量'''m'''平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。

===理想氣體的通量雅可比矩陣===
將[[理想氣體定律]]用作[[狀態方程]]，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下<ref>見Toro (1999)</ref>：

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
! 理想氣體的通量雅可比矩陣
|- 
|''x''方向的通量雅可比矩陣：

:<math>
\mathbf A_x= \left[ 
\begin{array}{c c c c c}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hat{\gamma}H-u^2-a^2 & (3-\gamma)u & -\hat{\gamma}v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\
-uv & v & u & 0 & 0 \\
-uw & w & 0 & u & 0 \\
u[(\gamma-2)H-a^2] &  H-\hat{\gamma}u^2 & -\hat{\gamma}uv & -\hat{\gamma}uw & \gamma u
\end{array}
\right].
</math>

''y''方向的通量雅可比矩陣：

:<math>
\mathbf A_y= \left[ 
\begin{array}{c c c c c}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-vu & v & u & 0 & 0 \\
\hat{\gamma}H-v^2-a^2 &  -\hat{\gamma}u & (3-\gamma)v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\
-vw & 0 & w & v & 0 \\
v[(\gamma-2)H-a^2] &  -\hat{\gamma}uv & H-\hat{\gamma}v^2 & -\hat{\gamma}vw & \gamma v
\end{array}
\right].
</math>

''z''方向的通量雅可比矩陣：

:<math>
\mathbf A_z= \left[ 
\begin{array}{c c c c c}
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-uw & w & 0 & u & 0 \\
-vw & 0 & w & v & 0 \\
\hat{\gamma}H-w^2-a^2 &  -\hat{\gamma}u  & -\hat{\gamma}v & (3-\gamma)w& \hat{\gamma} \\
w[(\gamma-2)H-a^2] &  -\hat{\gamma}uw  & -\hat{\gamma}vw & H-\hat{\gamma}w^2 & \gamma w
\end{array}
\right].
</math>
其中<math>\hat{\gamma}=\gamma-1</math>.
|}

總[[焓]]''H''為：

:<math>
H = \frac{E}{\rho} + \frac{p}{\rho},
</math>

及[[聲速]]''a''為：

:<math>
a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{(\gamma-1)\left[H-\frac{1}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]}.
</math>

===線性化形式===

將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態'''''m''''' = '''''m'''''<sub>0</sub>的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程如下：

:<math>
\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}
+ \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} 
+ \mathbf A_{y,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} 
+ \mathbf A_{z,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} 
= 0,
</math>

其中'''A'''<sub>''x,0''</sub> 、'''A'''<sub>''y,0''</sub>及'''A'''<sub>''z,0''</sub>分別為'''A'''<sub>''x''</sub>、'''A'''<sub>''y''</sub>及'''A'''<sub>''z''</sub>於某參考狀態'''''m''''' = '''''m'''''<sub>0</sub>的值。

===線性化一維的非耦合波方程===

如果棄用守恆變量而改用[[特徵線法|特徵變量]]的話，歐拉方程可被變換成非耦合[[波]]方程。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程：

:<math>
\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}
+ \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} =0.
</math>

矩陣'''A'''<sub>''x,0''</sub>可被[[可對角化矩陣|對角化]]，即可將其分解成：

:<math>
 \mathbf{A}_{x,0} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1},
</math>

:<math>
\mathbf{P}= \left[\mathbf r_1, \mathbf r_2, \mathbf r_3\right] =\left[ 
\begin{array}{c c c}
1 & 1 & 1  \\
u-a & u & u+a \\
H-u a & \frac{1}{2} u^2 & H+u a \\
\end{array}
\right],
</math>

:<math>
\mathbf{\Lambda} 
= \begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0  \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_3 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
u-a & 0 & 0  \\
0 & u & 0 \\
0 & 0 & u+a \\
\end{bmatrix}.
</math>

上式中，'''r'''''<sub>1</sub>''、'''r'''''<sub>2</sub>''及'''r'''''<sub>3</sub>''為矩陣'''A'''<sub>''x,0''</sub>的右[[特徵向量]]（若<math>A x_R = \lambda_R x_R,\ </math>，則''x_R''為右特徵向量），而''λ<sub>1</sub>''、''λ<sub>2</sub>''及''λ<sub>3</sub>''則為對應的[[特徵值]]。

設特徵變量為：

:<math>\mathbf{w}= \mathbf{P}^{-1}\mathbf{m},</math>

由於'''A'''<sub>''x,0''</sub>不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程，乘上'''P'''<sup>−1</sup>後可得：

:<math>
\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial t} + \mathbf{\Lambda} \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial x} = 0
</math>

經過這樣的處理後，方程實際上已經被[[線性無關|非耦合]]化，而且可被視作三條波方程，其中特徵值為波速。變量''w''<sub>i</sub>為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

==衝擊波==

歐拉方程為[[非線性]][[雙曲偏微分方程|雙曲]]方程，而它們的通解為[[波]]。与[[海浪]]一樣，由歐拉方程所描述的波[[碎波|碎]]掉後，所謂的[[衝擊波]]就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為[[多值函數]]（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰，如果要從方程上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建[[弱解]]時，需要使用[[藍金-雨果尼厄衝擊波條件]]，在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如[[空氣動力學]]及[[火箭|火箭推進]]。

==一維中的方程==

在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程會用到[[黎曼]]的[[特徵線法]]。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即''x''及''t''）所構成的平面上，在這條線上[[偏微分方程]]（PDE）會退化成[[常微分方程]]（ODE）。歐拉方程的[[數值分析|數值解法]]非常倚賴特徵線法。

==注釋==
{{reflist}}

==資料來源及延伸閱讀==
*{{cite book | first=G. K. | last=Batchelor | title=An Introduction to Fluid Dynamics | year=1967 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0521663962 }}
*{{cite book | first=Philip A. | last=Thompson| year=1972 | title=Compressible Fluid Flow | publisher=McGraw-Hill | location=New York | isbn=0070644055 }}
*{{cite book | first=E.F. | last=Toro | title=Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics | publisher=Springer-Verlag | year=1999 | isbn=3-540-65966-8}}

[[Category:基本物理概念]]
[[Category:流體力學中的方程]]