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{{NoteTA|G1=Math}}
{{Groups}}{{李群}}
[[数学]]上，[[数域]]''F''上的''n''阶'''正交群'''，记作O(''n'',''F'')，是''F''上的''n''×''n'' [[正交矩阵]]在[[矩阵乘法]]下构成的[[群]]。它是[[一般线性群]]GL(''n'',''F'')的子群，由

:<math>\mathrm{O}(n,F) = \{ Q \in \mathrm{GL}(n,F) \mid Q^T Q = Q Q^T = I \} \;</math>给出。

这里''Q<sup>T</sup>''是''Q''的[[转置]]。实数域上的经典正交群通常就记为O(''n'')。

更一般地，''F''上一个非奇异[[二次型]]的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。[[嘉当-迪奥多内定理]]描述了这个正交群的结构。

每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的''n''×''n''正交矩阵组成一个O(''n'',''F'')的[[正规子群]]，称为'''特殊正交群'''SO(''n'',''F'')。如果''F''的[[特徵]]为2，那么1 = −1，从而O(''n'',''F'')和SO(''n'',''F'')相等；其他情形SO(''n'',''F'')在O(''n'',''F'')中的[[子群的指数|指数]]是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO(''n'',''F'')为迪克森不变量的[[核]]，这样它在O(''n'',''F'')中总有指数2。

O(''n'',''F'')和SO(''n'',''F'')都是[[代数群]]，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于[[逆矩阵]]，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。

== 实数域上的正交群 ==
实数域'''R'''上的正交群O(''n'','''R''')和特殊正交群SO(''n'','''R''')在不会引起误会时经常记为O(''n'')和SO(''n'')。他们是''n''(''n''-1)/2 [[维数|维]]实[[紧]][[李群]]。O(''n'','''R''')有两个[[连通空间|连通]]分支，SO(''n'','''R''')是[[单位分支]]，即包含[[单位矩阵]]的连通分支。

实正交群和特殊正交群有如下的解释：

O(''n'','''R''')是[[欧几里得群]]''E''(''n'')的子群，''E''(''n'')是'''R'''<sup>''n''</sup>的[[等距]]群；O(''n'','''R''')由其中保持[[原点]]不动等距组成。它是以原点为中心的[[球面]] (''n'' = 3)、[[超球面]]和所有球面对称的对象的[[空间对称群|對稱群]]。

SO(''n'','''R''')是''E''<sup>+</sup>(''n'')的子群，''E''<sup>+</sup>(''n'')是“直接”等距，即保持[[定向 (数学)|定向]]的等距；SO(''n'','''R''')由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。

{ ''I'', −''I'' }是O(''n'','''R''')的[[正规子群]]并是[[特征子群]]；如果''n''是偶数，对SO(''n'','''R''')也对。如果''n''是奇数，O(''n'','''R''')是SO(''n'','''R''')和{ ''I'', −''I'' }的[[直积]]。''k''重[[旋转]][[循环群]]''C<sub>k</sub>''对任何正整数''k''都是O(2,'''R''')和SO(2,'''R''')的正规子群。

取合适的[[正交基]]，等距是

:<math>\begin{bmatrix}
\begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\
0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\
\end{bmatrix}</math>

的形式。这里矩阵''R''<sub>1</sub>,...,''R''<sub>''k''</sub>是2×2旋转矩阵。

[[圆]]的[[空间对称群|對稱群]]是O(2,'''R''')，也称为[[二面体群|Dih]](S<sup>1</sup>)，这里S<sup>1</sup>是模长1複数的乘法群。

SO(2,'''R''') (作为李群)同构于圆S<sup>1</sup>（[[圆群]]）。这个同构将複数exp(φ''i'') = cos(φ) + ''i'' sin(φ)映到正交矩阵
:<math>\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\
\sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}</math>。

群SO(3,'''R''')，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见[[旋转群]]和[[旋转矩阵|3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式]]

在[[代数拓扑]]方面，对''n'' > 2，SO(''n'','''R''')的[[基本群]]是[[循环群|2阶循环]]，而[[自旋群]]Spin(''n'')是其[[万有覆叠]]。对''n'' = 2基本群是[[无限循环]]而万有覆叠对应于[[实数轴]]（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠）

李群O(''n'','''R''')和SO(''n'','''R'''的[[李代数]]由[[斜对称]]实''n''×''n''矩阵组成，[[李括号]]由[[交换子]]给出。这个李代数经常记为  o(''n'','''R''')或so(''n'','''R''')。

=== 保持原点的3维同构 ===
保持'''R'''<sup>''3''</sup>原点不动的同构，组成群O(''3'','''R''')，能分成如下几类：
*SO(''3'','''R'''):
**恒同
**绕一个过原点的轴转动不等于180°
**绕一个过原点的轴转动180°
*以上与[[点反演|关于原点的点反演]]（'''x'''映到−'''x'''）复合，分别为：
**关于原点的点反演
**绕一轴旋转一个不等于180°的角度，与关于过垂直于轴且过原点的平面的反射的复合
**关于一个过原点的平面的反射

特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为[[瑕旋轉|反射旋转]]。类似的参见[[欧几里得群]]。

=== 共形群 ===
{{main|共形群}}

作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是[[共形变换]]，但是不是所有的共形变换都是正交变换。'''R'''<sup>''n''</sup>的线性共形映射构成的群记作CO(''n'')，由正交群和[[收缩]]的乘积给出。如果''n''是奇数，两个子群不相交，他们是直积：<math>\operatorname{CO}(2n+1) = \operatorname{O}(2n+1) \times \mathbf{R}</math>；如果''n''是偶数，两个子群的交是<math>\pm 1</math>，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：<math>\operatorname{CO}(2n) = \operatorname{O}(2n) \times \mathbf{R}^+ \;</math>。

我们可以类似地定义CSO(''n'')，这时总有<math>\operatorname{CSO}(n) := \operatorname{CO}(n) \cap \operatorname{GL}_+(n) = \operatorname{SO}(n) \times \mathbf{R}^+ \;</math>。

== 複数域上正交群 ==
複数域'''C'''上，O(''n'','''C''')和SO(''n'','''C''')是'''C'''上''n''(''n''-1)/2维的李群，这意味着实维数是''n''(''n''-1)。O(''n'','''C''')有两个连通分支，SO(''n'','''C''')是包含恒同矩阵的分支。当''n'' ≥ 2时，这些群非紧。

和实情形一样，SO(''n'','''C''')不是单连通的，对''n'' > 2  SO(''n'','''C''')的[[基本群]]是2阶[[循环群]]，而SO(2,'''C''')的基本群是无穷循环群。

O(''n'','''C''')和SO(''n'','''C''')的複[[李代数]]由[[斜对称矩阵|斜对称]]複''n''×''n''矩阵组成，[[李括号]]由[[交换子]]给出。

== 拓扑 ==
=== 低维数 ===
低维实正交群是熟悉的空间：

:<math>\begin{align}
O(1) &= \left\{\pm 1\right\} = S^0\\
SO(1) &= \left\{1\right\} = *\\
SO(2) &= S^1\\
SO(3) &= \mathbf{RP}^3
\end{align}</math>

由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多[[SO(3)上的卡]]。

=== 同伦群 ===

正交群的同伦群和[[球面的同伦群]]密切相关，从而一般是很难计算的。

但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列
:<math>O(0) \subset O(1)\subset O(2)\subset\cdots\subset O = \bigcup_{k=0}^\infty O(k)</math>
的[[正向极限]]（因为包含都是闭包含，从而是[[上纤维化]]，也能理解成[[并集|并]]）。

<math>S^n</math>是<math>O(n+1)</math>的[[齐性空间]]，从而有如下[[纤维丛]]：
: <math>O(n) \to O(n+1) \to S^n,</math>
可以理解为：正交群<math>O(n+1)</math> [[传递作用|传递地作用]]于单位球面<math>S^n</math>上，一点（看作一个单位向量）的[[稳定子群]]是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射<math>O(n) \to O(n+1)</math>是自然包含。

从而包含<math>O(n) \to O(n+1)</math>是[[n-连通|''(n-1)'' -连通]]的，故同伦群稳定，对<math>n > k + 1</math>有<math>\pi_k(O) = \pi_k(O(n))</math>，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。

通过[[博特周期性]]定理，<math>\Omega^8 O \simeq O</math>，从而''O''的同伦群以8为周期，即  <math>\pi_{k+8} O = \pi_k O</math>，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。

: <math>\begin{align}
\pi_0 O &= \mathbf Z/2\\
\pi_1 O &= \mathbf Z/2\\
\pi_2 O &= 0\\
\pi_3 O &= \mathbf Z\\
\pi_4 O &= 0\\
\pi_5 O &= 0\\
\pi_6 O &= 0\\
\pi_7 O &= \mathbf Z\\
\end{align}</math>

==== 和KO-理论的关系 ====
通过[[:en:cluching construction|cluching construction]]，稳定空间''O''的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：<math>\pi_k O = \pi_{k+1} BO</math>。

设<math>KO = BO \times \mathbf Z = \Omega^{-1} O \times \mathbf Z</math>（使得<math>\pi_0</math>满足周期性），我们得到：

: <math>\begin{align}
\pi_0 KO &= \mathbf Z\\
\pi_1 KO &= \mathbf Z/2\\
\pi_2 KO &= \mathbf Z/2\\
\pi_3 KO &= 0\\
\pi_4 KO &= \mathbf Z\\
\pi_5 KO &= 0\\
\pi_6 KO &= 0\\
\pi_7 KO &= 0\\
\end{align}</math>

==== 同伦群的计算和解释 ====
===== 低维群 =====

最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。

*<math>\pi_0(O) = \pi_0(O(1)) = \mathbf Z/2</math>保持/反[[定向 (几何)|定向]]（这个类存留到<math>O(2)</math>从而稳定）
<math>SO(3) = \mathbf{RP}^3 = S^3/(\mathbf Z/2)</math>得出：
*<math>\pi_1(O) = \pi_1(SO(3)) = \mathbf Z/2</math>即[[自旋群]]
*<math>\pi_2(O) = \pi_2(SO(3)) = 0</math>，有到<math>\pi_2(SO(4))</math>的满射，从而后一个群消失。

===== 李群 =====
由[[李群]]一般性事实，<math>\pi_2 G</math>总消失，<math>\pi_3 G</math>是[[自由群|自由]][[阿贝尔群]]。

===== 向量丛 =====
从向量丛的观点来看，<math>\pi_0(KO)</math>是<math>S^0</math>上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以
:<math>\pi_0(KO) = \mathbf Z</math>是[[哈默尔维数|维数]]。

===== 环路空间 =====
利用博特周期性中[[环路空间]]具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用<math>\pi_0</math>、''O''，以及''O/U''有两个分支，<math>KO = BO \times \mathbf Z</math>和<math>KSp = BSp \times \mathbf Z</math>有<math>\mathbf Z</math>个分支，其实是连通的。

==== 同伦群的解释 ====

一小部分结论：<ref>[http://math.ucr.edu/home/baez/week105.html John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105]</ref>
*<math>\pi_0(KO) = \mathbf Z</math>是[[哈默尔维数|维数]]
*<math>\pi_1(KO) = \mathbf Z/2</math>是[[定向 (几何)|定向]]
*<math>\pi_2(KO) = \mathbf Z/2</math>是[[自旋群|自旋]]
*<math>\pi_4(KO) = \mathbf Z</math>是[[拓扑量子场理论]]

令<math>F = \mathbf R, \mathbf C, \mathbf H, \mathbf O</math>，以及<math>L_F</math>为射影线<math>\mathbf{FP}^1</math>上的重複线丛，<math>[L_F]</math>是其K-理论。注意到<math>\mathbf{RP}^1 = S^1, \mathbf{CP}^1 = S^2, \mathbf{HP}^1 = S^4, \mathbf{OP}^1 = S^8</math>，这些得出相应球面上的向量丛，以及：
*<math>\pi_1(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf R}]</math>生成
*<math>\pi_2(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf C}]</math>生成
*<math>\pi_4(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf H}]</math>生成
*<math>\pi_8(KO)</math>由<math>[L_{\mathbf O}]</math>生成

== 有限群上的正交群 ==

正交群也能定義在[[有限域]]<math> \mathbf{F}_q</math>上，這里<math>q</math>是一個質數<math>p</math>的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：<math>O^+(2n, q) </math>和<math> O^-(2n, q) </math>；奇數維有一類：<math> O(2n+1, q) </math>。

如果<math> V</math>是正交群<math> G</math>作用的向量空間，它可以寫成正交直和：

: <math> V = L_1 \oplus L_2 \oplus \cdots \oplus L_m \oplus W </math>，

這里<math> L_i</math>是[[雙曲線]]而<math> W</math>不包含奇異向量。如果<math> W = 0</math>，那么<math> G</math>是正類型；若<math> W = <w></math>那么<math> G</math>有偶維數；若<math> W</math>有維數2，則<math> G</math>是負類型。

在''n'' = 1的特例，<math> O^\epsilon(2, q) </math>是階為<math>2(q - \epsilon)</math>的[[二面體群]]。

當特征大于2時，記O(''n'',''q'') = { ''A'' ∈ GL(''n'',''q'') : ''A''·''A''<sup>t</sup>=I }。關于這些群的階數我們有以下公式

: <math>|O(2n+1,q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

如果<math>-1</math>是<math>\mathbf{F}_q</math>中的平方元素

: <math>|O(2n,q)|=2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

:如果<math>-1</math>不是<math>\mathbf{F}_q</math>中的平方元素

:<math>|O(2n,q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>。

== 迪克森不变量 ==

对偶数维正交群，'''迪克森不变量'''是从正交群到''Z''/2''Z''的[[同态]]，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。

在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。

迪克森不变量也能对所有维数的[[克利福德群]]和[[Pin群]]类似地定义。

== 特征2域上正交群 ==
特征2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：

*任何域上的任何正交群都是由反射生成，惟一的例外是兩個元素的域上的[[维特指标]]為2的4維向量空間{{harv|Grove|2002|loc=Theorem 6.6 and 14.16}}。注意特征2域上的反射定義稍不同。特征2域，垂直于一個向量''u''的反射將''v''映為''v''+B(''v'',''u'')/Q(''u'')·''u''，這里''B''是一個雙線性形式，''Q''是和正交矩陣相連的二次形式。而通常的[[豪斯霍尔德变换]]是將''v''映到''v''-2·B(''v'',''u'')/Q(''u'')·''u''，當奇特征和零特征時與比較兩者不同。

*特征2時正交群的中心總是1階，而不是2階。

*在特征2的奇維數2''n''+1時，完全域上的正交群和2''n''維辛群相同。事實上特征2時的辛形式時可交換的，而維數為奇數故總有一個1維的核，模去核的商是一個2''n''維辛空間，正交群作用在它上面。

*在特征2的偶維數，正交群是辛群的一個子群，因為此時二次型的辛雙線性形式也是可交換的。

== 旋量模 ==
旋量模是一個從域''F''上正交群到域''F''的[[单位 (代数)|乘法群]]模去平方元素

:''F''<sup>*</sup>/''F''<sup>*2</sup>

的同態，将关于模长为''n''向量的[[反射 (数学)|反射]]映到''F''<sup>*</sup>/''F''<sup>*2</sup>中的''n''。

旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。

== 伽罗瓦上同调和正交群 ==

[[代数群]]的[[伽罗瓦上同调]]理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系；
但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦''H''<sup>1</sup>等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和[[判别式]]相联系。

一个旋量模的“spin”名字可以用与[[自旋群]]（更准确地[[pin群]]）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入[[克利福德代数]]的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的[[短正合列]]：
:<math> 1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow Pin_V \rightarrow O_V \rightarrow 1 </math>
这里μ<sub>2</sub>是[[单位根的群概形|单位根的代数群]]；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。

从''H''<sup>0</sup>（就是取值于''F''中点的群''O''<sub>V</sub>(''F'')）到''H''<sup>1</sup>(μ<sub>2</sub>)的[[连接同态]]本质上是spinor模，因为  ''H''<sup>1</sup>(μ<sub>2</sub>)同构于域模去平方元素的乘法群。

正交群的''H''<sup>1</sup>到自旋群覆叠的核的''H''<sup>2</sup>也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。

== 重要子群 ==
物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下：
:<math>
O(n) \supset O(n-1)
</math>
:<math>
O(2n) \supset SU(n)
</math>
:<math>
O(2n) \supset USp(n)
</math>
:<math>
O(7) \supset G_2
</math>
正交群O(n)也是一些[[李群]]的重要子群：
:<math>
SU(n) \supset O(n)
</math>
:<math>
USp(2n) \supset O(n)
</math>
:<math>
G_2 \supset O(3)
</math>
:<math>
F_4 \supset O(9)
</math>
:<math>
E_6 \supset O(10)
</math>
:<math>
E_7 \supset O(12)
</math>
:<math>
E_8 \supset O(16)
</math>

群O(10)在[[超弦理论]]中非常重要，因为它是10维时空的对称群。

== 另见 ==

*[[旋转群]], SO(3,'''R''')
*[[SO(8)]]
*[[广义正交群]]
*[[酉群]]
*[[辛群]]
*[[有限单群列表]]
*[[单李群列表]]

== 注释 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Grove | first1=Larry C. | title=Classical groups and geometric algebra | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Graduate Studies in Mathematics | isbn=978-0-8218-2019-3 | id={{MathSciNet | id = 1859189}} | year=2002 | volume=39}}

== 外部链接 ==
*[http://math.ucr.edu/home/baez/week105.html John Baez "This Week's Finds in Mathematical Physics" week 105]
*[http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node10.html John Baez on Octonions]

[[Category:李群]]
[[Category:二次型]]
[[Category:欧几里得对称]]