查看“正切”的源代码

{{函數
|name =正切
|image =Tan proportional.svg
|heading1 =1
|parity =奇
|domain =  {x{{!}}x≠kπ+π/2，k∈Z} 
|codomain = (-∞,∞)
|period = π
|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = ∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =
|heading3 = 1
|asymptote = x = (2k + 1)π/2
|root = kπ
|critical =
|inflection =
|fixed = 0
|notes =k是一個[[整數]].}}
'''正切'''（Tangent，<math>\tan</math>，东欧国家将其写作tg）是[[三角函数]]的一种。它的[[值域]]是整个[[实数集]]，[[定义域]]落在<math>\{ x|x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in Z \}</math>。它是[[周期函数]]，其最小正[[周期]]为<math>\pi</math>。正切函数是[[奇函数]]。

==符号说明==
正切的符号为<math>\tan</math>，源于英文tangent。该符号最早由[[数学家]]T.芬克所采用。

==定义==

=== 直角三角形中 ===

[[File:Rtriangle.svg|thumb|left|200px|直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 <math> \theta </math>， 對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊]]
在[[直角三角形]]中，一个锐角的'''正切'''定义为它的對邊与鄰邊的比值，也就是：
:<math> \tan \theta = \frac {\text{a}}{\text{b}} = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\,\!</math>

可以發現其定義和[[餘切函數]]互為[[倒數]]。

=== 直角坐标系中 ===
设<math>\alpha</math>是平面[[直角坐标系]]xOy中的一个[[象限角]]，<math>P\left( {x,y} \right)</math>是角的终边上一点，<math>r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0</math>是P到原点O的距离，则α的正切定义为：
:<math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>
{{clear}}

=== 单位圆定义 ===
[[File:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|[[单位圆]]]]
图像中给出了用[[弧度]]度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同''x''轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，並令这个交点為''y''。另原點為''O''。做一直線，''y''點，垂直於<math>\overline{Oy}</math>，並與单位圆相切，令直線與x軸的交點，則此點與''y''點之距離為[[正切比]]值。
[[File:Circle-trig6.svg|300px|thumb|left|[[单位圆]]上的正切]]
{{clear}}
单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于<math>2\pi</math>或小于<math>-2\pi</math>的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些[[三角函數]]变成了周期为<math>2\pi</math>的[[周期函数]]；但由於正切是切線，再绕单位圆旋转時，會出現周期是<math>\pi</math>，所以正切是周期为π的[[周期函数]]：

:<math>\tan\theta = \tan\left(\theta + \pi k \right)</math>

对于任何角度<math>\theta</math>和任何[[整数]]<math>k</math>。

=== 級數定義 ===
正切函數也可以使用[[泰勒展開式]]定義
:<math>\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math>

其中<math>B_{2n}</math>為[[伯努利數]]。

=== 微分方程定义 ===
<math>\tan</math>的微分是<math>\sec</math>的平方
:<math>\frac{d}{dx}\tan x\ = \sec^2 x</math>
另外
:<math>\int \tan x  \, dx = -\ln (\cos x)</math>
所以可以用
:<math>\tan x = (-\ln (\cos x))' \,</math>來定義。

=== 指数定义 ===
<math>\tan \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})} \,</math>

== 恒等式 ==
=== 用其它三角函数来表示正切 ===

{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;text-align:center"
! 函數
! sin
! cos
! tan
! cot
! sec
! csc
|-
! <math>\tan \theta </math>
| <math> \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
| <math> \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta} </math>
| <math> \tan \theta\ </math>
| <math> \frac{1}{\cot \theta} </math>
| <math> \sqrt{\sec^2\theta - 1} </math>
| <math> \frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}} </math>
|}
=== 角的和差 ===
<math>\tan(\theta\pm\psi)=\frac{\tan\theta\pm\tan\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}</math>

==== 正切的有限多项和 ====

设<math>x_i=\tan (\theta_i)</math>，对于<math>i=1,\ldots,n</math>。设<math>e_k</math>是变量<math>x_i</math>，<math>i=1,\ldots,n</math>，<math>k=0,\ldots,n</math>的<math>k</math>次[[基本对称多项式]]。则

: <math>\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}, </math>

项的数目依赖于<math>n</math>。例如，
:<math> \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\  \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\  \\
&{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align} </math>

并以此类推。一般情况可通过[[数学归纳法]]证明。

=== 半角公式 ===
<math>\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \end{align}</math>
=== 二倍角 ===
<math>\begin{align}\tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\\
& = \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}\\
\end{align}</math>
=== 三倍角 ===
<math>\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}</math>

== 正切定理 ==
{{Main|正切定理}}
[[File:LabeledTriangle.svg|thumb|200px|一个三角形。它的三个内角及其对边。]]
在[[平面 (数学)|平面]][[三角形]]中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的'''正切'''除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

:<math>
\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}
</math>

:<math>
\frac{b-c}{b+c}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\beta -\gamma }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\beta +\gamma }{2}}
</math>

:<math>
\frac{c-a}{c+a}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma -\alpha }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma +\alpha }{2}}
</math>
== 用途 ==
=== 物理學 ===
一物體在[[斜面]]上剛開始[[滑動]]時，其[[靜摩擦係數]]為斜面[[傾角]]的'''正切'''值。

== 參見 ==
{{commonscat|Tangent function}}
* [[餘切]]
* [[餘弦]]
* [[正弦]]
* [[餘割]]
* [[正割]]
* [[三角学]]
* [[三角函数]]

{{三角函數}}

[[Category:三角学|Z]]
[[Category:函数|Z]]
[[Category:三角函数]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]